"proste" zadanie z matematyki

Najprawdopodobniej jest to zadanie z gimnazjum (reszta zadań była na tyle banalna, że wątpię aby to była średnia). A treść zadania jest taka:

Mamy dwie liczby - 20 i 25, która jest większa 20²⁵ czy 25²⁰.

Cały myk polega na tym aby nie liczyć ile to jest 20²⁵ i 25²⁰ bo to wyjdzie trochę dużo :). Podpowiem, że 20²⁵ jest większe. Nie będę też podawał co udało mi się zrobić aby nie sugerować niczego.

Jestem ciekaw czy ktoś to rozwiąże bo ja nie dałem rady, chociaż matematyka to moja mocna strona...

ja to bym rozwiązał na "zdrowy rozsądek". liczba do potęgi jest w tym ważniejsza niż podstawa. prosty przykład
2 do 10 jest większe niż 10 do 2. Udowodnić niestety nie umiem.

która jest mniejsza rozwiązuje się tak, że trzeba policzyć a/b i jeśli wynik < 1 to b jest większa jak = 1 to są równe a jak > 1 to a jest większa. W matematyce nie ma czegoś takiego jak "zdrowy rozsądek" i napisanie, że 20²⁵ "bo tak" to niestety nie rozwiązanie

Można je rozłożyć na mniejsze potęgi w taki sposób, żeby miały wspólny czynnik. Będzie można go pominąć i porównać już o wiele mniejsze liczby, być może i w tej samej potędze (jak zauważył cyriel).
20²⁵ = 20²⁰ * 20⁵
25²⁰ = 20²⁰ * (1.25)²⁰ = 20²⁰ * ((1.25)⁴)⁵

http://ideone.com/HmpNwF problem solved :D

tutaj zostało to wytłumaczone. http://matematyka.pisz.pl/forum/19383.html
i jest to zadanie z 3 gim, bo miałem podobne na początku klasy

Rev napisal:

Można je rozłożyć na mniejsze potęgi w taki sposób, żeby miały wspólny czynnik. Będzie można go pominąć i porównać już o wiele mniejsze liczby.
20²⁵ = 20²⁰ * 20⁵
25²⁰ = 20²⁰ * (1.25)²⁰
(1.25)²⁰ da sie dalej rozlozyc na ((1.25)⁴)⁵ i porwnac ta liczbe z 20⁵.

ja doszedłem do podobnej postaci jak @Rev i @cyriel - macie po plusiku, jednak wydaje mi się, że chodziło o ostatnie rozwiązanie z postu @Sopelek. W sieci trafiłem na rozwiązywanie tego typu zadań logarytmami ale o ile wiem to logarytmy były w średniej (chociaż za moich czasów gimbazy nie było) i stwierdziłem, że nie tędy droga :)

Ostatnie rozwiązanie z tego wątku na "pisz.pl" jest właściwie identyczne, co nasze - czyli chodzi o rozkładanie potęg. To, czy porównasz je oddzielnie czy wsadzisz pod kreskę ułamkową nie ma żadnego znaczenia.

Wracając do pytania postawionego w pierwszym poście: potęgi to w zasadzie jedna z podstawowych rzeczy. Nic niezmiernie trudnego w tym zadaniu nie było.

Mały konkurs dla matematyków, liczby k i n są całkowite, 2 <= k < n. Wykazać, że tylko dla k=2, n=3 oraz k=2, n=4 nie zachodzi nierówność kⁿ > n^k.

A nagroda?

Muciek napisał(a):

A nagroda?

przecież nawet rozwiązania nie podałeś ani żadnej podpowiedzi więc o jaką nagrodę ci chodzi? BTW dla reszty dyskutantów jest przewidziany "uścisk ręki prezesa" :)

Muciek napisał

A nagroda?

Satysfakcja, podziw tłumów i nieprzemijająca słąwa.

Dowód dla k≥3
Chcemy udowodnić, że dla k≥3, n>k zachodzi δ = kⁿ - n^k > 0.
Dokonujemy podstawienia n = u+k, n > k → u ≥ 1
δ = kⁿ - n^k = k^u+k - (u+k)^k = k^k(k^u - (1 + u/k)^k)
Ciąg (1 + u/k)^k jest rosnący oraz ograniczony od góry przez liczbę e^u.
Mamy zatem
δ > k^k(k^u - e^u)
Czyli dla k>e mamy δ>0.

Dowód dla k=2
Chcemy pokazać, że dla k=2, n≥3 tylko liczby n=3,4 nie spełniają nierówności
2ⁿ > n²
Sprawdzamy...
n=3: 2³ = 8 > 9 = 3² - nie spełnia, OK
n=4: 2⁴ = 16 > 16 = 4² - nie spełnia, OK
Dla n≥5 korzystamy z indukcji i mamy:
n=5: 2⁵ = 32 > 25 = 5² - OK
n>5: 2ⁿ > n² → 2ⁿ⁺¹ > (n+1)²
2ⁿ⁺¹ = 22ⁿ > 2n² > (n+1)² - OK

Gdzie moja sława?