Czesc, robie sobie zadania powtorkowe do matury, i natrafilem na takie zadanko.
Dany jest ciąg arytmetyczny an określony dla n>=1. Wykaż, że ciąg bn, określony dla n>=1 wzorem bn= 2a(n+2)+4a(n+4) ogólnym jest arytmetyczny.
Otoz rozwiazalem to w taki sposob. Korzystam z wlasnosci ciagu arytmetycznego
Takie rozwiazanie jest poprawne?
Nie można bo przecież wcale nie udowodniłeś tego co miałeś. Udowodniłeś coś tylko dla kilku pierwszych wyrazów ciągu jeśli w ogóle. Musiałbyś do tego dorobić indukcje jakąś, żeby to uogólnić. Takim dowodem jak przeprowadziłeś to można np. udowodnić że wszystkie liczby nieparzyste >2 są pierwsze no bo 3, 5, 7... ;]
Zresztą przekombinowałeś bo wystarczy przecież zauważyć że:
a(n+2) = an + 2r
a(n+4) = an + 4r
więc bn = 2a(n+2)+4a(n+4) = 2*(an + 2r) + 4*(an + 4r) = 6an + 20r
Z tego wynika że b(n+1) = 6(an+1) + 20r = 6an +6r + 20r + = (6an + 20r) + 6r = bn + 6r
Więc z definicji ciag bn jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 6r cbdo.
Hah, cos tak podejrzewalem, ze to jakis z d**y dowod :P Faktycznie, masz racje, teraz to widze. Dzieki @Shalom