Witam,
Czym są elementy najmniejsze, największe, minimalne i maksymalne? :o Wiem, że mogą być określane na każdym zbiorze częściowo uporządkowanym (podacie jakieś przykłady takiego zbioru?) i najmniejszy to taki, który dzieli wszystkie pozostałe elementy zbioru. Jak z resztą? Z formalnych definicji ciężko jest to ogarnąć.
Jakbyście mi to jakoś łopatologicznie wytłumaczyli, to może bym nawet zdał dyskretną :D
To jest dość prosta sprawa:
Przykład:
weźmy zbiór {1,2,3,4,5} i relację podzielności bez reszty
Wiemy że:
Elementy najmniejsze, czyli takie dla których nie ma elementu który poprzedzałby je w relacji:
Czy jest taki element zbioru x dla którego nie istnieje y takie że yRx?
Dla x=2 mamy 1|2 więc istnieje y=1 więc nie jest minimalny
Dla x=3 mamy 1|3 więc istnieje y=1 więc nie jest minimalny
Dla x=4 mamy 1|4 więc istnieje y=1 więc nie jest minimalny
Dla x=5 mamy 1|5 więc istnieje y=1 więc nie jest minimalny
Ale dla x = 1 nie istnieje taki y więc widzimy że 1 jest elementem minimalnym. Co więcej 1 jest w relacji ze wszystkimi elementami zbioru więc dodatkowo jest elementem najmniejszym
Elementy największe, czyli takie dla których nie ma elementu który następowałby po nich w relacji.
Czy jest taki element zbioru x dla którego nie istnieje y takie że xRy?
Dla x=1 mamy 1|2, 1|3, 1|4, 1|5 więc istnieją y 2,3,4,5 które następują po 1 relacji więc nie jest to element maksymalny (co wiemy też z tego że jest elementem najmniejszym ;) )
Dla x=2 mamy 2|4 więc istnieje y=4 więc nie jest maksymalny
Dla x=3 nie mamy żadnego 3|y w zbiorze więc jest maksymalny
Dla x=4 nie mamy żadnego 4|y w zbiorze więc jest maksymalny
Dla x=5 nie mamy żadnego 5|y w zbiorze więc jest maksymalny
Element największe nie istnieje bo jeśli taki element istnieje to jest on zawsze jedynym elementem maksymalnym ;) Ale łatwo to też zaobserwować bo widzimy że nie ma elementu z którym wszystkie inne byłyby w relacji.
O, haha, dzięki Shalom za wypociny po 1 w nocy, masz u mnie piwo :D A to jeszcze mam jedno pytanko co do klas abstrakcji...np. w zbiorze {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>, <2, 2>, <3, 3>} klasy abstrakcji będą trzy, nie?:
1 | = {1, 2}
2 | = {1, 2}
3 | = {3}
w ogóle do czegoś się ta cała matematyka dyskretna przydaje w praktyce w jakiejś dziedzinie zawodowego programowania?
Matematyka dyskretna to jedna z niewielu dziedzin które się przydają, ale to o czym teraz piszesz to są akurat podstawy Algebry ;] Ale też przydane. Kiedy? Na przykład kiedy uczyć sieć neuronową pewnego odwzorowania (pewnej relacji) to ważne żeby dane testowe obejmowały wszystkie klasy abstrakcji, bo inaczej tych brakujących sieć nie będzie rozpoznawać.
Co do twojego zadania to rozumiem że treść brzmi: mając zbiór {1,2,3} oraz relację R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} wyznacz klasy równoważności? ;) Tak, twoja odpowiedź jest poprawna.
Klasa równoważności dla każdego elementu to jest po prostu zbiór elementów z którymi dany element jest w relacji. Ale weź pod uwagę że w przypadku o którym mówisz to jest trywialne wyznaczenie takiej klasy. Zwykle problemy do rozwiązania są bardziej abstrakcyjne ;)
Podstawy algebry? Dobrze wiedzieć, bo miałem to na analizie, algebrze i dyskretnej równolegle. Wszystko jest wymieszane jak nie wiem, trzeba się uczyć z dziesiątek źródeł i nie ma konkretnych granic materiału. Ciekawy skok w porównaniu do tego co było w liceum. Ale też wszystko to jest ciekawe, bo nigdy się z takimi rzeczami na matematyce nie spotkałem do tej pory. Nie wiem, jak niektórzy godzą pracę ze studiami :P Ja tak się tu nad tym rozwodzę, ale w każdym razie, dzięki za odpowiedź :P