Różnica w sposobie tworzenia obiektu.

private SchedulerMeetingService meetingService;

public HomeController()
{
    this.meetingService = new SchedulerMeetingService();
}

lub

public HomeController()
{
    SchedulerMeetingService meetingService = new SchedulerMeetingService();
}

Jaka jest różnica przy tych dwóch metodach stworzenia obiektu?

W metodzie 1 obiekt jest widoczny w całej klasie HomeController, a w metodzie 2 "znika" po zakończeniu działania tej metody.