wyliczyć średnią prędkość - harmoniczną (ćwiczenie z trygonometrii dla zaawansowanych).

Odpowiedz Nowy wątek
2018-06-11 23:34
wil
0

Mamy prędkość w funkcji kierunku - f:

u(f) = sqrt(1+v^2 - 2v^2sinf^2 - 2vcosf sqrt(1-v^2sinf^2))

jaka jest średnia dwukierunkowa, znaczy tam i z powrotem, czyli u(f) i u(f+180)?

Wzór na harmoniczną jest taki:
h = 2ab/(a+b), czyli G^2/A;
gdzie G i A to średnie: geometryczna i arytmetyczna.

u_śr(f) = ?
powodzenia. :)

Dodam jeszcze, że to nie są przypadkowe wzory, lecz całkiem realne:
dotyczą ruchomego obiektu, np. samolotu, który podczas lotu z prędkością: v emituje fale dźwiękowe,
wówczas one biegną właśnie z prędkością: u(f), względem tego samolotu.

Światła też to dotyczy, oczywiście, pomijając drobne niuanse.

edytowany 1x, ostatnio: wil, 2018-06-12 01:00

Pozostało 580 znaków

2018-06-12 01:39
2

Jeśli v to prędkość, to dodawanie 1 do kwadratu prędkości nie ma sensu fizycznego. Jednostki się nie zgadzają.
@Edit: Chyba, że v nie ma jednostki, bo jest na przykład podane jako ułamek prędkości dźwięku.

edytowany 1x, ostatnio: maciekniewielki, 2018-06-12 10:09

Pozostało 580 znaków

2018-06-12 17:41
wil
0

Dokładnie tak, v jest tu faktycznie: v/c, czyli normalizujemy sobie prędkość fali: c = 1, co upraszcza wzory.

Przykładowo:

\Large u(f=0) = \sqrt{1+v^2-2v}=\sqrt{(1-v)^2} = 1-v

co jest oczywiście tym samym co: c-v, w wersji bez normalizacji.
(1-v/c) c = c-v

OK. Może pokaże jak wygląda ta strasznie skomplikowana funkcja: u(f), dla v = 0.7
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot:+r%3Dsqrt(1%2B0.7%5E2-2(0.7sin(f))%5E2-20.7cos(f)sqrt(1-(0.7*sin(f))%5E2))
:)

edytowany 5x, ostatnio: wil, 2018-06-12 19:30

Pozostało 580 znaków

2018-06-12 21:05
0

Rozumiem, że wystarczy wstawić u(f) i u(f+180) do wzoru na średnią harmoniczną?

Jeśli chodzi o część trygonometryczną, to można sprawdzić jak sin^2(f) oraz cos(f) transformują się po przejściu f->f+180.

(sin(f+180))^{2}=(-sin(-f-180))^{2}=(-sin(180-f))^{2}=(-sin(f))^{2}=(sin(f))^{2} cos(f+180)=cos(-180-f)=-cos(-f)=-cos(f)

Z tego wynika, że u(f+180) różni się od u(f) jedynie minusem przy cosinusie. Co po podstawieniu:

a=1+v^{2} - 2v^{2}sin^{2}(f) b=2vcos(f) \sqrt{1-v^{2}sin^{2}(f)}

daje nam

u(f)=\sqrt{a-b}, \qquad \qquad u(f+180)=\sqrt{a+b}

Podstawiając do wzoru na średnią:

u_{sr}(f) = 2\frac{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}  {\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}  {\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}\frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})}  {a+b-a+b}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})}  {2b}= \frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})}  {b}

Tego ostatniego nie da się już chyba za bardzo uprościć, pomijając pozbycie się a,b i wymnożenie czego się da.

Pozostało 580 znaków

2018-06-12 22:08
wil
1

Skecz polega właśnie na tym, że to się ekstremalnie - zupełnie uproszcza!

Wynik mieści się w.. zaledwie kilku znakach.

Wolfram nie potrafi tego wyliczyć. :)

\sqrt{1+v^2 - 2v^2\sin(f)^2 - 2v\cos(f) \sqrt{1-v^2sin(f)^2}} + \sqrt{1+v^2 - 2v^2\sin(f)^2 + 2v\cos(f) \sqrt{1-v^2sin(f)^2}} = ?
edytowany 2x, ostatnio: wil, 2018-06-12 22:12
A to ciekawe. Już biorę się za myślenie :) - maciekniewielki 2018-06-12 22:27

Pozostało 580 znaków

2018-06-12 23:09

Kolejnym krokiem będzie zamiana sinusów na cosinusy z jedynki tryg. (przykładowo dla wyrażenia z plusem przy cos, dla drugiego analogicznie):

\sqrt{1 + v^{2} - 2 v^{2}(1 - cos^{2}(f)) + 2vcos(f) \sqrt{1 - v^{2}(1 - cos^{2}(f)) }}= \sqrt{1 - v^{2} + 2 v^{2}cos^{2}(f) + 2vcos(f) \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }}

W tym momencie zauważyłem, że jest to wzór skróconego mnożenia:

\sqrt{1 - v^{2} + 2 v^{2}cos^{2}(f) + 2vcos(f) \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }} = \sqrt{ (vcos(f) + \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) })^{2} } = \sqrt{(c+d)^{2}}

gdzie

c=vcos(f), \qquad \qquad d=\sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }

Przy czym d >= c. Z tego wynika, że Twoja suma jest równa:

\sqrt{(c+d)^{2}} + \sqrt{(d-c)^{2}} = 2d = 2\sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }

I dzięki temu mam mianownik. Z kolei licznik to:

2(d-c)(d+c) = 2(d^{2} - c^{2}) = 2(1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) - v^{2}cos^{2}(f)) = 2(1 - v^{2})

Więc wynik końcowy można zapisać w postaci:

u_{sr} = \frac{ 1 - v^{2} }{ \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) } } = \frac{ 1 - v^{2} }{ \sqrt{1 - v^{2}sin^{2}(f) } }

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem. Tutaj to już na pewno nie ma nic do uproszczenia :)

edytowany 2x, ostatnio: maciekniewielki, 2018-06-12 23:41

Pozostało 580 znaków

2018-06-13 00:04
wil
0

Bardzo dobrze - gratulacje!
Pozostaje to narysować, aby zobaczyć co reprezentuje ten wynik...

r = 1-v^2 / (1-v^2sinf^2)^0.5 => r^2 = (1-v^2)^2 / (1-v^2sinf^2);
r^2 = x^2 + y^2; sinf = y/r, itd.

https://www.wolframalpha.com/[...]olar+plot:+r%3D(1-0.8%5E2)%2F(1-(0.8*sin(f))%5E2)%5E0.5

Pozostało 580 znaków

2018-06-13 21:25
wil
0

Reasumując: wynik tej prostej wyliczanki jest faktycznie podstawą całej Teorii Względności. :)

Pozostało 580 znaków

Odpowiedz
Liczba odpowiedzi na stronę

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1, botów: 0