Algebra liniowa - wytlumaczy mi ktoś kilka rzeczy?

Odpowiedz Nowy wątek
2020-04-09 20:50

Rejestracja: 1 rok temu

Ostatnio: 1 miesiąc temu

0

Czy podzbiór S = (1,1) jest podprzestrzenią wektorową?
Kiedy wektory będą liniowo zależne, a kiedy niezależne?
Kiedy podzbiór będzie podprzestrzenią wektorową?
Nie dokonca rozumiem tych 3 pojęć( podprzestrzen wektorowa, liniowa zależność, niezależność), a w wikipedii są tylko definicje formalne, których kompletnie nie rozumiem. Mógłby ktoś mi wyjaśnić "po ludzku" o co w tym chodzi?
Z góry dzięki za odpowiedź.

Pozostało 580 znaków

2020-04-09 21:09

Rejestracja: 4 lata temu

Ostatnio: 1 dzień temu

Podprzestrzeń wektorowa to, jak sama nazwa wskazuje, _pod_przestrzeń (jakiejś większej przestrzeni), która jest dalej wektorowa (więc ma wektor zerowy, wszystkie wielokrotności wszystkich jej wektorów też się w niej zawierają oraz wszystkie sumy wszystkich wektorów tak samo).

Wektory będą liniowo zależne, jeśli jeden jest wielokrotnością drugiego. A przy większej liczbie, wektor jest liniowo zależny od zbioru wektorów, gdy jest jakąś ich kombinacją liniową (czyli sumą wielokrotności).

Przykłady:

  • Zbiór (x; 0), gdzie x jest rzeczywiste, będzie podprzestrzenią liniową R², bo jest w nim wektor zerowy (0; 0), wszystkie wielokrotności jego wektorów też tam będą i wszystkie jego sumy.
  • Zbiór (x; 1) już nie, bo nie ma wektora zerowego.
  • A zbiór będący sumą tych dwóch powyższych również nie, bo chociaż jest w nim wektor (1; 1), to nie ma dwukrotności tego wektora, (2; 2).
  • Wektory (2; 8) i (1; 4) są liniowo zależne, bo jeden to wielokrotność drugiego. Wektory (3; 5) i (0; 0) są, bo tak samo. Wektory (2; 8) i (3; 5) nie, bo nie.

Pozostało 580 znaków

2020-04-09 22:48

Rejestracja: 1 rok temu

Ostatnio: 1 miesiąc temu

0

A zbiór (1,1) jest podprzestrzenią zbioru S mimo że nie ma on wektora zerowego? Czy dany nadzbiór zawsze musi mieć wektor zerowy żeby podzbiór (który też ma wektor zerowy) był jego podprzestrzenią? Przez jednego Pana, który uczy matematyki trochę mi się wszystko poplątało, więc jeżeli to co napisałem jest bezsensowne to z góry przepraszam.
Zbiór S=( (1,1), (2,3) )

edytowany 1x, ostatnio: supremeje, 2020-04-09 22:49

Pozostało 580 znaków

2020-04-10 06:25

Rejestracja: 4 lata temu

Ostatnio: 1 dzień temu

1

Jeśli intencją jest zbiór S posiadający dokładnie te dwa wektory, to nie jest on przestrzenią (więc i podprzestrzenią) wektorową, bo — między innymi — tak jak zauważyłeś, nie ma wektora zerowego.
Ale czasem analogicznie zapisuje się minimalną (ze względu na zawieranie) przestrzeń wektorową zawierającą dane wektory — czyli zbiór kombinacji liniowych zadanych wektorów (czyli wszystkich ich sum i wielokrotności). Wtedy już na mocy samej definicji jest to (pod)przestrzeń wektorowa, a co więcej — jest to równe R²: bo każdy wektor (x; y) z R² można przedstawić jako a(1; 1) + b(2; 3) dla pewnych a i b.

Sens mówienia o podprzestrzeniach wektorowych jest tylko dla nadprzestrzeni wektorowych, więc tak, rozważany nadzbiór też musi być przestrzenią wektorową, więc i posiadać wektor zerowy. Ale nawet gdyby nie, to i tak skądś się ten wektor zerowy musiał w tej podprzestrzeni znaleźć, a że wszystkie elementy podprzestrzeni są też elementami nadprzestrzeni…

Pozostało 580 znaków

2020-04-10 23:48
Moderator

Rejestracja: 16 lat temu

Ostatnio: 11 minut temu

1

Kiedy wektory będą liniowo zależne, a kiedy niezależne?

Jeśli któryś z wektorów można przedstawić jako kombinacje pozostałych, to jest od nich liniowo zależny. Np. jeśli masz (1,1), (1,0), (0,1) to widać ze (1,1) = (1,0)+(0,1) więc (1,1) jest od nich liniowo zależny.


Masz problem? Pisz na forum, nie do mnie. Nie masz problemów? Kup komputer...
Odpowiedz

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1, botów: 0