Pierwiastki wielomianu stopnia >2

Odpowiedz Nowy wątek
2006-11-15 13:13
0

Pisze biblioteczke do działania na wielomianach. I przydałaby się metoda znajdująca miejsca zerowe. Wymyśliłem to tak:
1: szukam pierwiastków pochodnej (ekstrema) i drugiej pochodnej (punkty przegięcia).
2: otrzymane punkty tworzą zbiór przedziałów, w których występuje maks 1 pierwiastek, dodatkowo na tych przedziałach funkcja jest monotoniczna i wygięta w jedną strone

3: sprawdzam znaki wartości funkcji na końcach przedziału, jeśli różne to mamy pierwiastek, jeśli zgodne - nie mamy
4: szukam pierwiastku metodą falsi (tudzież potrzebne punkty przegięcia, aby zawężanie przedziału obywało się w jedną stronę)

Pierwsze moje pytanie tyczy się zastosowanej metody - czy jest ona optymalna ? Proponujecie coś lepszego ? Jakieś usprawnienia ?

Drugie pytanie: co z pierwszym i ostatnim pierwiastkiem, te które leżą przed pierwszym ekstremum i za ostatnim ekstremum ? Jaką metodą je znaleźć ?

Pozostało 580 znaków

2006-11-15 16:41
0

Czyli szukasz zera wielomianu, korzystając z zera pochodnej, troszkę jak sumowanie przez dodawanie ;-).
Chociaż, istnieją gotowe wzory dla stopni mniejszych niż 5 (dla piątego i wyższych nie istnieje analityczne rozwiązanie) czyli jest to jakiś sposób na wielomiany 5 stopnia, ale...
Istnieje wiele sposobów "pierwiastkowania" wielomianów. Np. metoda Bairstow’a.

Pozostało 580 znaków

2006-11-15 18:10
0

Ja tylko powiem, ze sprawa znacznie sie upraszcza, jezeli chodzi o szukanie zespolonych pierwiastkow, a nie tylko rzeczywistych jako ze pierwiastki zespolone zawsze istnieja i jest ich tyle co stopien wielomianu.

Przyklad: jezeli mamy rozwiazac rownanie: x^3+3x+1=0, wzor na kolejne przyblizenia moze byc taki:

xn+1 = pierw3(-3xn-1)

Teraz biarac wszystkie definicje pierwiastka 3 stopnia mozna wyznaczyc wszystkie pierwiastki wielomianu.

Problem jest taki, ze jest to nie zawsze zbieżne dla pierwszej definicji pierwiastka (dla kolejnych zawsze), zbieznosc jest stosunkowo wolna w porownaniu z metoda stycznych i siecznych - ale umozliwia wyznaczenie wszystkich pierwiastkow zespolonych.

Kiedys pisalem podobny program i obliczalem wszystkie pierwiastki od drugiego wzwyz, a pierwszy ze wzoru na sume pierwiastkow wielomianu - dzialalo calkiem ladnie.

Dodam jeszcze, ze w podobny sposob mozna wyznaczac pierwiastki zespolone kazdej funkcji.

Pozostało 580 znaków

2006-11-16 01:07
0

Jeżeli mam jeden pierwiastek, to mogę podzielić wielomian przez jednomian (x-x1), stopień się zmniejsza, jest to też dobre ze względu na dokładność.

Pozostało 580 znaków

2006-11-19 19:24
0
othello napisał(a)

Ja tylko powiem, ze sprawa znacznie sie upraszcza, jezeli chodzi o szukanie zespolonych pierwiastkow, a nie tylko rzeczywistych jako ze pierwiastki zespolone zawsze istnieja i jest ich tyle co stopien wielomianu.

a czy n to nie jest czasem ilość zespolonych pierwiastków + ilość rzeczywistych, przy czym należy pamiętać że jeżeli liczba "z" jest pierwiastkiem wielomianu to liczba sprzężona z "z" też =]


Nie ma ludzi zdrowych psychicznie, są tylko źle zbadani...

Pozostało 580 znaków

2006-11-19 22:43
0

a czy n to nie jest czasem ilość zespolonych pierwiastków + ilość rzeczywistych

No tak, tyle ze liczba zespolona to uogolnienie liczby rzeczywistej. Czyli liczba rzeczywista to taka liczba zespolona, w ktorej czesc urojona jest zerowa.
No i teraz, mamy n pierwiastkow zespolonych i nie pytamy, czy czesc urojona jest zerowa (pierwiastek rzeczywisty), czy nie ;-)

Szczegolnym przypadkiem sa pierwiastki z jedynki, czyli rozwiazania rownania x^n=1, gdzie rozwiazania leza na okregu i tworza wierzcholki n-kata foremnego.

należy pamiętać że jeżeli liczba "z" jest pierwiastkiem wielomianu to liczba sprzężona z "z" też

Tak, ale tylko wtedy, gdy wspolczynniki wielomianu sa rzeczywiste.

Pozostało 580 znaków

Odpowiedz
Liczba odpowiedzi na stronę

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1, botów: 0