całki wielokrotne - problem z obszarem

Badam od kilku dni problem obliczenia objętości części wspólnej
dwóch powierzchni danych równaniami uwikłanymi.
Okazuje się że czasami trudno zdefiniować obszar całkowania.

Przykład - dwa walce:
x^{2 + (z-r)}2 = r^2 - walec o promieniu r, oś równoległa do osi y i przechodząca przez punkt (0,0,r)
y^{2 + z}2 = r^2 - podobny walec, ale o osi pokrywającej się z osią x

Walce te przenikają się w taki sposób, że jeden wgryza się do połowy grubości drugiego.
Obszar całkowania (rzut części wspólnej na płaszczyznę poziomą XY) jest jakąś skomplikowaną figurą,
chyba czwartego stopnia (taki kwadrat o zaokrąglonych rogach).

Jak to przeskoczyć - jakaś parametryzacja, twierdzenia całkowe (Greena, itp.)?

Jest metoda montecarlo (losowe strzelanie w regularny obszar o znanej objętości,
zawierający obszar całkowania, wtedy V = liczba trafien/liczba strzałów * Vs),
jest to wolno zbieżne - rzędu sqrt(N) - może zna ktoś sposób przyspieszenia,
np. jakiś specjalny wariant metody Romberga?

Jest jeszcze aproksymacja, zwłaszcza trygonometryczna (dwuwymiarowa) wygląda dobrze,
ale nie mogę oszacować błędu (nie ma nigdzie podanej reszty dla interpolacji/aproks. tryg.,
brak wskazówek jak to obliczyć)

Pa!

To może być prostsze niż ci się wydaje. Zobacz jak wygląda rzutowanie obszaru na płaszczyznę XZ lub YZ ;]. No i możesz przedzielić tą płaszczyzną ten obszar na dwie części, a to daje się już jakoś całkować. W każdym razie na pewno daje się napisać samą całkę.

Rzut na ZY wygląda tak: z^{2 = r}2 - y^2 i jest koło

Na ZX jest taki: x^2 = z(2r - z), to też koło.

Jakoś nie za bardzo widzę gdzie tu całkować po pierwszym walcu, a gdzie po drugim.
Takie rzuty nie mają odpowiedniego brzegu, ten brzeg jest powierzchnią - a musi być krzywą!

Wycofuję tamto poprzednie moje bredzenie...

Całkujemy jeden walec po półkolu, które powstaje z rzutu drugiego.

Prowadzi do całki, której obliczanie jest tak samo przyjemne jak
rozplątywania tego obszaru na płaszczyźnie XY z krzywą czwartego stopnia. :-D

Prawdopodobnie będzie to całka eliptyczna, której nie da rady obliczyć analitycznie. [???]