Dla matematyków - wielomian, maksimum i Delphi...

Witam,

Przeszukałem Google i nie znalazłem odpowiedzi...

Jak zrobić coś takiego:

Mam taką tablicę zmiennych X,Y:
(podane wartości są przykładowe)

X | Y
1 1
2 3
3 4
5 6
6 9
7 10
8 14
9 17
10 18
11 19
12 18
13 16
14 14
15 12

Tablica może mieć minimum 5 rekordów a maksymalnie 15. ( w przykładzie podałem 15 rekordów).

Teraz chodzi o to, że nie wiem jak ma wyglądać procedura aproksymacji wielomianowej tej funkcji i wyznaczenie maksimum funkcji ( a właściwie X max, Y max). Idealnie byłoby, gdyby można było klikając w buttona zmieniać stopień wielomianu z drugiego na wyższy, czyli zmieniać z "2" na 3, 4, 5 i 6. (tak robi Excel jak zrobi się wykres punktowy i doda się linię trendu...

Czy ktoś wie jak to rozwiązać?
Proszę o pomoc. Dzięki!

sory, wkradła się nieścisłość - (...) znaleźć Ymax i odpowiadająca mu wartość X.
I jeszcze: zmiana stopnia wielomianu jest ważna, bo ma na celu dopasowanie krzywej do "rozrzuconych" punktów... Dzięki!

Wybierasz punkty (niech user wybierze nawet).

Robisz aproksymację (jest dużo różnych - najłatwiej chyba średniokwadratową).

Wyszukujesz maksimum. Z liceum powinieneś wiedzieć że należy szukać w ekstremach i na krańcach przedziałów (w niewłaściwych liczy się granicę, ale w przypadku wielomianów jest luzik - +/- nieskończoność i ławo wymyślić która).

Ekstrema raczej wiesz jak policzyć. Podpowiem, że wielomiany bardzo łatwo się różniczkuje.

ja dopasowałbym do tego parabolę (wielomian 2 stopnia), znalazł X dla którego jest maksymalna
(pochodna zerowa) mamy X
można się zastanawiać, czy maksimum tej paraboli lepiej przybliża rozwiązanie czy może też szukać parabol rozpiętych na mniejszej liczbie punktów otaczających X (z pierwszej paraboli)

jak to zwykle bywa, odpowiedzi nie można chyba udzielić na ślepo, to znaczy nie wiedząc nic o mierzonym zjawisku
ogólna i zwykle dobra odpowiedź to minimum różnicy kwadratów

A czy macie jakieś linki do podobnych rozwiązań? Przyznam się, że generalnie ciężko mi zacząć, bo nie za bardzo wiem nawet jak się robi aproksymacje, liczy pochodne itd - a to przecież podstawy...

Dzięki, pozdrawiam
Andrzej

www.google.pl? wikipedia?

Polecałbym jednak przejść się do biblioteki ;-P Książki:
Kincaida i Cheneya (modulo pisownia),
Ralstona,
Jankowskich.

W google hasła takie jak: aproksymacja, wielomiany ortogonalne, aproksymacja średniokwadratowa.

Pochodne na pewno wiesz jak liczyć. Jak masz jednomian a*x^{n to pochodna z tego to n * a * x} (n-1). Aby policzyć pochodną wielomianu korzystasz z tego, że suma pochodnych to pochodna sumy.

O ile dobrze pamietam ze studiow, to zagadnienie jest raczej proste. Dla wielomianow sprowadza sie to do rozwiazania ukladu rownan liniowych, gdzie niewiadome to wspolczynnniki wielomianu, a rownania skladaja sie z sum poteg danych punktow.

To bardzo latwo wyprowadzalo sie z ogolnych wzorow na regresje dowolna funkcja metoda najmniejszych kwadratow. Byla taka ksiazka do analizy matematycznej, niebieska okladka, 2 tomowa (Krysicki chyba), gdzie bylo to ladnie opisane.