Wątek przeniesiony 2021-01-14 21:51 z Algorytmy i struktury danych przez Shalom.

równania nieliniowe z infor. całkową

0

Jak zastosować całki do rozwiązywania równań?

Mam na myśli coś takiego:

szukamy rozwiązania równania: f(x) = 0

i tradycyjnie są tu rozmaite metody z pochodnymi (Newtona i dalsze), ale nigdy z całkami - dlaczego?

przecież mając informację: F(x) = int f(x)dx, w granicach x0 do x1 można to chyba jakoś wykorzystać do wyliczenia zera - nie?

0

Przede wszystkim dlatego, że liczenie pochodnych jest mechaniczne, a liczenie całek — potworne.

0

Co jest potworne w liczeniu całek?

Np. dla liczenia pierwiastków mamy funkcję: f(x) = x^2 - a;
z tego wyliczamy pierwiastek: x= sqrt(a),
np. Newtonem:

x+ = x - f(x)/f'(x) = x - (x^2-a)/2x

jak widać figuruje tu pochodna: f' = 2x;

no, ale co to za problem użyć tu całki, którą można wyliczyć z marszu:
int fdx = x^3/3 - ax = x/3 (x^2 - 3a)

jest to jakaś informacja, czy nie?
z pewnością, zatem można to wykorzystać w szukaniu zera - jak?

0

https://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithms
Nie ma ani jednej metody opartej na całkowaniu. Może dlatego, że pochodna funkcji daje styczną do wykresu, ta styczna przecina oś x i można to wykorzystać do znajdowania pierwiastka; a całka to pole pod wykresem, za bardzo nie widać jakby się miała przydać przy liczeniu pierwiastka.

0

Przede wszystkim potworne jest to, że nikt nie obiecuje, że wynik będzie jakąś „normalną” funkcją, a nie potworkiem. A wszystkie metody, które mi przychodzą do głowy, wymagają analizy symbolicznej rozwiązania w poszukiwaniu jakichś obiecujących cech.

0

@lion137: dlatego pytam - gdzie są metody z całkami?

2
  1. Zauważmy że jeśli całka z danej funkcji = 0 to musi istnieć pierwiastek, bo albo mamy f=0 albo musimy mieć taki sam obszar nad i pod OX na wykresie, więc siłą rzeczy gdzieś funkcja musi przeciąć OX, przy założeniu że jest ciągła
  2. Możemy rozszerzyć teraz ten warunek, jeśli w pewnym zakresie całka jest dodatnia (analogiczna konstrukcja dziala tez dla ujemnej wartości) a rozszerzając ten zakres wartość całki "spadnie" (wzrośnie dla ujemnej), to znaczy że musieliśmy przeciąć OX.

Tylko że to niewiele nam daje, bo o ile pochodna daje nam gradient, tzn mówi nam o "kierunku wzrostu/spadku" funkcji o tyle w przypadki całki takiej informacji nie mamy. Wiemy tylko coś na temat "całego całkowanego obszaru". Dla jakiejś monotonicznej funkcji to można by ten trik wykorzystać może, ale to raczej średnio pomocne. Wydaje mi się że w ogólnym przypadku informacja o całce zwyczajnie nie pomaga w szukaniu pierwiastka i tyle.

0

@kwalifika: Odpowiedział @Shalom, poza tym, artykuł na wiki odpowiada; biorąc pod uwagę, jak zagadnienie jest rozlegle badane, brak choćby tam wzmianki o całkowaniu jest odpowiedzią.

2

@kwalifika: Wybrał(a|e)ś sobie akurat funkcję którą całkuje się prosto. Tutaj możesz poczytać o tym, dlaczego liczenie całek jest trudne a liczenie pochodnych już nie aż takie:
https://math.stackexchange.co[...]h-harder-than-differentiation

0

Zapominacie że moim celem jest wykorzystanie informacji całkowej w rozwiązywaniu równań.

Twierdzenia w stylu: 'całki są trudne' bo 'styczne są łatwe', są zwyczajnym wymigiwaniem się od odpowiedzi.

I tak samo odrzucam tezy typu: pochodna to styczna, a całka to pole.

Druga pochodna, trzecia, itd. - co to jest?
Pierwsza całka to pole pod krzywą - tak?, a druga całka czym jest?

to jest to samo: całki są także pochodnymi, ale ujemnego rzędu!

pierwsza pochodna: df/dx;
zerowa pochodna: f
pierwsza ujemna pochodna: f^-1 = int fdx

... 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, ...

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 0, botów: 1

Robot: CCBot