(Algebra abstrakcyjna) (symetryczność + przechodniość => zwrotność) Wykazać błąd rozumowania

Odpowiedz Nowy wątek
2011-10-03 18:13
0

Niech R będzie relacją symetryczną i przechodnią na zbiorze X. Przeprowadzamy następujące rozumowanie. Niech xRy. Ponieważ R jest symetryczna, więc yRx. Zatem na mocy przechodniości R z warunków xRy i yRx wynika xRx, czyli R jest zwrotna bo x było dowolne. Gdzie jest błąd w tym rozumowaniu?

Jacek Gancarzewicz, Algebra liniowa i jej zastosowania, WUJ, Wydanie I, 2004, strona 59, zadanie I.12.

Powtarzam sobie algebrę i natrafiłem właśnie na zadanie, którego nie mogę rozgryźć.


"Programs must be written for people to read, and only incidentally for machines to execute." - Abelson & Sussman, SICP, preface to the first edition
"Ci, co najbardziej pragną planować życie społeczne, gdyby im na to pozwolić, staliby się w najwyższym stopniu niebezpieczni i nietolerancyjni wobec planów życiowych innych ludzi. Często, tchnącego dobrocią i oddanego jakiejś sprawie idealistę, dzieli od fanatyka tylko mały krok."
Demokracja jest fajna, dopóki wygrywa twoja ulubiona partia.
Relacja "pusta" jest symetryczna i przechodnia, a nie jest zwrotna. Skąd wiesz, że dla każdego x istnieje takie y, że xRy? - bogdans 2011-10-03 18:48

Pozostało 580 znaków

2011-10-03 18:30
0

Wydaje mi się, że tu:

Zatem na mocy przechodniości R z warunków xRy i yRx wynika xRx, czyli R jest zwrotna bo x było dowolne

ponieważ przechodniość to:
(xRy & yRz) => xRz a nie tak jak jest napisane, że xRx

edytowany 1x, ostatnio: polaczek17, 2011-10-03 18:31
z = x i co? - Wibowit 2011-10-03 18:49
No to, że to zdanie"Zatem na mocy przechodniości R z warunków xRy i yRx wynika xRx" jest błędne. Tam jest napisane, że wynika, a nie wynika :) - polaczek17 2011-10-03 20:00
Akurat jeżeli x oraz y istnieją i zachodzi dla nich xRy i yRx to zasada przechodniości tutaj obowiązuje, ponieważ wszystkie warunki zostały spełnione. Zwróć uwagę, że w relacji przechodniości x, y i z są dowolne (ale istniejące), a więc mogą oznaczać ten sam element. - Wibowit 2011-10-03 20:16

Pozostało 580 znaków

2011-10-03 18:35
0

Mam pewien kontrprzykład Wibowit:
Weźmy relację bycia bratem na zbiorze mężczyzn. Zgodnie z tym rozumowaniem jeżeli X jest bratem Y to Y jest bratem X - czyli ok. Jeżeli X jest bratem Y i Y jest bratem Z to X jest bratem Z - czyli OK. Ale jeżeli X jest bratem Y, a Y jest bratem X to nie oznacza, że X jest bratem X. Nie wiem jak to przedstawić formalnie ;p


I fart u die.

Pozostało 580 znaków

2011-10-03 19:01
0

mychal:
Ta relacja nie jest przechodnia, ponieważ jeżeli X = Z i X jest bratem Y, to z przechodniości wynika, że XRY i YRZ => XRX, a więc jest przechodniość.

Poprawną odpowiedź chyba dał bodgans. Jeśli weźmiemy relację równoważności i dodamy do zbioru wartości nowe elementy, ale nie zmienimy zbioru relacji, to utracimy tylko i wyłącznie zwrotność.


"Programs must be written for people to read, and only incidentally for machines to execute." - Abelson & Sussman, SICP, preface to the first edition
"Ci, co najbardziej pragną planować życie społeczne, gdyby im na to pozwolić, staliby się w najwyższym stopniu niebezpieczni i nietolerancyjni wobec planów życiowych innych ludzi. Często, tchnącego dobrocią i oddanego jakiejś sprawie idealistę, dzieli od fanatyka tylko mały krok."
Demokracja jest fajna, dopóki wygrywa twoja ulubiona partia.

Pozostało 580 znaków

2011-10-03 19:16
0

Aby wykazać błąd należy odwołać się do definicji:
relacja jest zwrotna w ZBIORZE A jeśli dla każdego a ...
relacja jest przechodnia, symetryczna jeśli dla każdego a,b ... bla bla bla

Symetria i przechodniość są własnościami samej relacji, natomiast o zwrotności możemy mówić w stosunku do pary: relacji i zbioru w którym pole tej relacji jest zawarte, natomiast w zadaniu uogólnia się zwrotność na wszystkie zbiory.

Delikatnie mówiąc, brednie. Relacja nie istnieje (nie jest zdefiniowana) bez podania zbioru. - bogdans 2011-10-03 19:57
Oczywiście że relacja jest zdefiniowana na zbiorze, nie chciało mi się klepać całych definicji stąd bla bla bla - argv 2011-10-03 20:57

Pozostało 580 znaków

2011-10-03 20:03
0

@mychal.szczygiel, w życiu codziennym nie istnieje kwestia czy jakiś mężczyzna jest swoim bratem. Jeżeli formalnie zdefiniujemy relację w zbiorze mężczyzn tak: xRy <==> x i y maja tego samego ojca i tą samą matkę (niezależnie od tego czy x jest różne od y), to każdy mężczyzna jest swoim własnym bratem.


To smutne, że głupcy są tak pewni siebie, a ludzie mądrzy - tak pełni wątpliwości. Bertrand Russell

Pozostało 580 znaków

2011-10-03 20:38
0

Problem relacji nie określiłbym jako algebry abstrakcyjnej, mimo, że w niej korzystamy często z relacji, ale może się czepiam.

Dla x-ów dla których istnieje y, że xRy mamy zwrotność, ale nie koniecznie dla wszystkich.

Wibowit napisał(a)

Poprawną odpowiedź chyba dał bodgans.

Tak, modulo relacja pusta na zbiorze pustym.

Wibowit napisał(a)

Jeśli weźmiemy relację równoważności i dodamy do zbioru wartości nowe elementy, ale nie zmienimy zbioru relacji, to utracimy tylko i wyłącznie zwrotność.

Dokładnie.

edytowany 2x, ostatnio: XnaP, 2011-10-03 20:41

Pozostało 580 znaków

Odpowiedz
Liczba odpowiedzi na stronę

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1, botów: 0