Witam
Załóżmy, że mamy funkcję określoną następująco: x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+...+n*x^n. Jeśli "n" dąży do nieskończoności, to funkcja dąży do pewnej granicy "m"
Mając dane m oblicz x. Funkcja da poprawne wyniki jeśli |zwrócona wartość - oczekiwana wartość|<=1e-12. Nie wiem jak to rozgryźć i nie wiem gdzie szukać i czego szukać.
0
0
Jeśli "n" dąży do nieskończoności, to funkcja dąży do pewnej granicy "m"
Dąży do nieskończoności chyba że x byłby ujemny (albo <1 przynajmniej) ale nawet wtedy nie jestem przekonany czy taka granica w ogóle istnieje. Pokaż oryginalną treść tego zadania.
0
Tak ale szukamy takiego x, że 0<x<1
0
Oryginalna treść:
Consider the sequence U(n, x) = x + 2x**2 + 3x**3 + .. + nx**n where x is a real number and n a positive integer.
When n goes to infinity and x has a correct value (ie x is in its domain of convergence D), U(n, x) goes to a finite limit m depending on x.
Usually given x we try to find m. Here we will try to find x (x real, 0 < x < 1) when m is given (m real, m > 0).
Let us call solve the function solve(m) which returns x such as U(n, x) goes to m when n goes to infinity.
solve(2.0) returns 0.5 since U(n, 0.5) goes to 2 when n goes to infinity.
solve(8.0) returns 0.7034648345913732 since U(n, 0.7034648345913732) goes to 8 when n goes to infinity.
1
Suma takiego szeregu jest znana i wynosi x/(1-x)^2 ;) Dla twojego przykładu, dla x=0.5 mamy 0.5/0.25 = 2 tak jak się można było spodziewać. Więc w twoim przypadku musisz tylko rozwiązać równanie:
x/(1-x)^2 = m
x = m*(1-x)^2
-m*x^2 + x + 2mx - m = 0
Więc mamy proste równanie kwadratowe do policzenia.
Znów dla twojego przykładu, dla m=8 mamy -8*x^2 + 17x - 8 = 0 które ma rozwiązania w:
x1 = 17/16 - sqrt(33)/16 = 0.7034648345913732087593367832363169176112334713760754770187576580
x2 = 17/16 + sqrt(33)/16 = 1.4215351654086267912406632167636830823887665286239245229812423419
Nie bardzo rozumiem co to było do "rozgryzania". Równania kwadratowe to szkoła podstawowa chyba? ;)
0
Dziękuję za odpowiedzi. Pamiętasz to z nauki matematyki czy może korzystałeś z jakiejś strony. Podaj proszę jakiegoś linka, bo chciałbym nadrobić zaległości z matmy.
0
Szereg wyglądał jakoś prosto więc sprawdziłem czy to jest jakaś znana suma i było np. na http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/analizaB/wyklad06.pdf. A równania kwadratowe to bez przesady xD
0
Takie sumy to się liczy funkcjami tworzącymi. Jest o tym rozdział w Matematyce Konretnej (https://pl.wikipedia.org/wiki/Matematyka_konkretna)
1
Można też po prostu Wolframa zapytać: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+i*x%5Ei+from+i+%3D+0+to+infinity