liczby i ich podzielniki

Są tzw. liczby pierwsze, które nie dzielą się wcale, albo tylko przez 1 i siebie, co dałoby w sumie tylko 2 dzielniki = minimum.

A co z maksimum, znaczy jakie liczby mają najwięcej dzielników?

Przykłady takich liczb są powszechnie znane, np. 12, 24 - liczba godzin w dobie,
potem 72 = 3x24, 144 = 2x72, 360 = 5x72 - liczba stopni w kole.

24 = 8 x 3, co dzieli się przez: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, razem 8 sztuk.

72 = 8 x 9, zatem to dzieli się przez: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 - razem 12 sztuk.

A może 24 x 2 = 48 ma więcej, a jest mniejsza od 72?
48 = 16 x 3: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 - razem: 10, czyli jednak mniej od 12.

OK.
Jakie liczby np. do 100, potem do 1000, dalej do 10000, 100000, i jeszcze do 1 milion mają maksymalne liczby dzielników?

Do 100 tyś. będzie to chyba: 86400 - liczba sekund na dobę... no, a może jest inna - lepsza. :)

60 jest lepsza od 72:
60 = 4 x 3 x 5, zatem dzieli się przez: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60; razem też 12 sztuk, no ale 60 jest mniejsze od 72, więc wygrywa.

Wygląda mi to na pracę domową i żebranie o gotowca...

Shalom napisał(a):

Wygląda mi to na pracę domową i żebranie o gotowca...

Żartujesz sobie... no, a jeśli już to prędzej na Nobla. :)

Sam problem liczenia podzielników jest trywialny - wystarczy zapuścić komputer i on to szybko powylicza;
no ale powiązanie tego z fizyką byłoby już zapewne... odkryciem.

Jasne że to ma związek z fizyką, co nawet nagim okiem wyraźnie widać:
12, 24, 60, 72, 96, 144, 180, 360, 480, 720, ...

No i co - może twierdzisz że te liczby nie występują często w naturze, znaczy częściej od pozostałych, których jest zdecydowanie więcej?

Ale co jest dalej - jakie są te liczby powyżej 1000?

Może 1440, coś w okolicach 1800... tak w ciemno strzelam,
jako że masa proton / elektron =~ 1800 :),
a potem co znamy... długo, długo nic i 86400 - chyba 96 podzielników, no i jest dobrze znana 24 x 3600 s = doba.
Dalej to już zupełnie nieznany, niezbadany rejon...

Obstawiam że jest jeszcze dobrze podzielna liczba w okolicach 25800,
a to z uwagi na rok platoński - okres precesji osi ziemi... a i nie tylko. :)

O! Jest taka liczba przed 86400: 34560 - ktoś to zna, widział, słyszał gdzieś taki numer? :)
Ona ma aż 72 dzielniki, więc na pewno gdzieś stoi w przyrodzie, no ale jest chyba chwilowo zbyt wielka jak na nasze możliwości percepcyjne. :)

Precesja: 360 x 72 = 25920 - ile to ma dzielników?

Nobla nie dostaniesz(bo nie rozdają w dziedzinie matematyki).
Jeśli naprawdę zainteresował Cię ten temat to polecam przeczytać: http://en.wikipedia.org/wiki/Highly_composite_number

Pijany Lew napisał(a):

Nobla nie dostaniesz(bo nie rozdają w dziedzinie matematyki).
Jeśli naprawdę zainteresował Cię ten temat to polecam przeczytać: http://en.wikipedia.org/wiki/Highly_composite_number

Tam nie ma nic na temat liczby dzielników, a tylko zwyczajne rozkładanie na czynniki pierwsze.

86400 = 2^{7 x 3}3 x 5^2,
zatem liczba dzielników to: 8x4x3 = 96;
bardzo proste, no ale raczej słabo badane przez matemaciorów,
dlatego też konsekwencje takiej numeryki są zupełnie nieznane, a są zapewne... jedwabiste. :)

Hah! "Ona ma aż 72 dzielniki, więc na pewno gdzieś stoi w przyrodzie, no ale jest chyba chwilowo zbyt wielka jak na nasze możliwości percepcyjne." Wszystko, co przeczy naszej tezie ogłośmy jako największego jej sprzymierzeńca i krzyczmy głośno, że nie da się temu zaprzeczyć.

Ależ nie przeczy!
Ta dziwna liczba: 34560 siedzi sobie pięknie w centrum kosmologii. :)

Jako, że temat wciąż nawiedza najciekawszy dział (w założeniach), miast kosza. Postanowiłem zabrać głos i zrzec się mojego nobla. Jest Twój stir.
Tu program liczący kolejne liczby, z większą, niż wszystkie poprzednie naturalne dodatnie, liczbą dzielników: http://ideone.com/L1RyoE
Dość naiwny, dałoby się go przyśpieszyć, ale wierzę, że wystarczy. Można go uruchomić na własnej maszynie aby znalazł te liczby w znacznie większym zakresie. Można go rozwinąć, lub wykorzystać do obliczeń współbieżnych. Pozwalam na dowolne wykorzystanie i w ogóle. Ale nie ponoszę za jego poprawność i wszystko inne odpowiedzialności... Poniżej kolejne takie liczby, do miliona:

2
4
6
12
24
36
48
60
120
180
240
360
720
840
1260
1680
2520
5040
7560
10080
15120
20160
25200
27720
45360
50400
55440
83160
110880
166320
221760
277200
332640
498960
554400
665280
720720

Tacet napisał(a):

Jako, że temat wciąż nawiedza najciekawszy dział (w założeniach), miast kosza. Postanowiłem zabrać głos i zrzec się mojego nobla. Jest Twój stir.
Tu program liczący kolejne liczby, z większą, niż wszystkie poprzednie naturalne dodatnie, liczbą dzielników: http://ideone.com/L1RyoE
Dość naiwny, dałoby się go przyśpieszyć, ale wierzę, że wystarczy. Można go uruchomić na własnej maszynie aby znalazł te liczby w znacznie większym zakresie. Można go rozwinąć, lub wykorzystać do obliczeń współbieżnych. Pozwalam na dowolne wykorzystanie i w ogóle. Ale nie ponoszę za jego poprawność i wszystko inne odpowiedzialności... Poniżej kolejne takie liczby, do miliona:
2
4
6
12
24
36
48
60
120
180
240
360
720
840
1260
1680
2520
5040
7560
10080
15120
20160
25200
27720
45360
50400
55440
83160
110880
166320
221760
277200
332640
498960
554400
665280
720720

weźmy dla przykładu:
83160 = 8 x 27 x 5 x 7 x 11
zatem to ma 4 x 4 x 2 x 2 x 2 = 128 dzielników

czyli więcej od 86400, która ma 96.

Zatem problem jest chyba trudniejszy niż przypuszczałem.
Ta liczba ma zbyt wielkie czynniki, jak na swoją wielkość, bo aż 11.

Prawdopodobnie należy użyć wagi liczb, i im mniejsza ma tym większą wagę... co jest nawet zrozumiałe:
liczb podzielnych przez 11 jest istotnie mniej, od tych dzielnych 5, 3 i 2.

Natura jest prosta, no ale nie trywialna, niestety. :)

stir napisał(a):

Jasne że to ma związek z fizyką, co nawet nagim okiem wyraźnie widać:
12, 24, 60, 72, 96, 144, 180, 360, 480, 720, ...

No i co - może twierdzisz że te liczby nie występują często w naturze, znaczy częściej od pozostałych, których jest zdecydowanie więcej?

Ale co jest dalej - jakie są te liczby powyżej 1000?

Może 1440, coś w okolicach 1800... tak w ciemno strzelam,
jako że masa proton / elektron =~ 1800 :),
a potem co znamy... długo, długo nic i 86400 - chyba 96 podzielników, no i jest dobrze znana 24 x 3600 s = doba.
Dalej to już zupełnie nieznany, niezbadany rejon...

Obstawiam że jest jeszcze dobrze podzielna liczba w okolicach 25800,

w naturze nie występują żadne liczby - to na odwrót - te liczby zostały dobrane przez człowieka żeby się dobrze liczyło
nie ma czegoś takiego jak minuta = 60 sekund w naturze

człowiek wymyślił że doba dzieli się na 24 godziny po 60 minut właśnie dlatego że te liczby mają dużo podzielników i łatwo jest je podzielić

Wieczny Knur napisał(a):

w naturze nie występują żadne liczby - to na odwrót - te liczby zostały dobrane przez człowieka żeby się dobrze liczyło nie ma czegoś takiego jak minuta = 60 sekund w naturze
człowiek wymyślił że doba dzieli się na 24 godziny po 60 minut właśnie dlatego że te liczby mają dużo podzielników i łatwo jest je podzielić

Naprawdę?
Zatem podaj mi cywilizację, która stosuje np.: 23 godzinną dobę, dzielą koło na 137 części, no a zegar do tego ma tam 17 w miejscu naszej 12.
...

A odnośnie procedury wyliczania tych specjalnych, znaczy popularnych w naturze liczb, może potem podam jakiś schemat... o ile mi się uda... bo to jednak nie chodzi o liczbę podzielników, lecz o... taki jakby cały proces składania danej liczby z innych - czynników,
które mogą być także złożone, a wtedy ich waga jest większa;
w naturze wtedy rośnie szansa utworzenia danej wielokrotności z... zadanych wielkości (procesy nieliniowe akurat tak działają),
co tu ma właśnie kluczowe znaczenie dla utworzenia tego... ten, tej specjalnej liczby... no i dla uzyskania nobla oczywiście :) .

stir napisał(a):

Naprawdę?
Zatem podaj mi cywilizację, która stosuje np.: 23 godzinną dobę, dzielą koło na 137 części, no a zegar do tego ma tam 17 w miejscu naszej 12.

Podział dnia na 24 godziny wymyślony został przez egipcjan ponad 3500 lat temu - po co jakaś cywilizacja miałaby wymyślać swój podział na nowy, gorszy?

Możesz sobie poczytać
http://www.scientificamerican.com/article/experts-time-division-days-hours-minutes/

Uprzedzając Twoje odkrycie że stosujemy system dziesiętny i mamy akurat po dziesięc palców to powiem że właśnie dlatego obrano system dziesiętny (wcześniej stosowano system dwunastkowy, właśnie ze względu na ilość podzielników - 2,3,4,6)

w dodatku

Astronomowie Średniego Państwa (9 i 10 dynastia), dzięki obserwacji gwiazd stworzyli podział najpierw na 36 części, a dopiero potem został on uproszczony do podziału na 24 części

czyli wcześniej wymyślony podział miał 36 godzin w ciągu doby

The talmudic hour is one twelfth of time elapsed from sunrise to sunset, day hours therefore being longer than night hours in the summer; in winter they reverse.

Oznacza to że godzina trwała 1/12 długości dnia - wtedy nie było zegarków i nie potrafiono ani nie było potrzeby odmierzania dokładnego czasu - 1/12 długości dnia znaczyła co innego w zimę a co innego w lato

Dni Indyjskie dzielą się na 60 "Pe", Pe dzieli się na 60 minut, a minuta na 60 pstryknięć palcami. W sumie dzielą dzień na 216000 pstryknięć palcami, a nasza godzina to 2.5 Pe czyli 9000 pstryknięć

Ogółem liczby występują w naturze i kryją swoją magię. Ciąg Fibonacciego, symetria, liczby atomowe

nie ma żadnych liczb w naturze a jeśli są (na przykład ilość palców u ludzi lub liczba protonów w jądrze) to przypadkowe lub wynikające z ewolucji (najlepiej sobie poradziły osobniki akurat z taką ilością palców) / praw fizyki (coś o innej strukturze się już po prostu rozpadło)

co ma symetria do liczb? W naturze nie istnieje nigdzie idealna symetria a logiczne jest że jeśli coś o tej samej strukturze rozprzestrzenia się na dwie strony od swojego rdzenia to powstanie w miarę symetryczna struktura

ciąg fibonacciego to nic innego jak matematyczny opis dokładania do struktury czegoś co bokiem pokrywa to co było, lub inaczej - opisuje sytuację w której twór dorasta i tworzy kolejne twory podwajając swoją ilość - dlatego na początku mamy 1 (młody osobnik), potem znów 1 (stary osobnik gotowy do rozmnażania), potem 2 (młody, nowy osobnik + 1 stary), potem 3 (1 dojrzały, 1 stary, 1 nowy), potem 5 (2 nowych z dojrzałych, 1 dojrzały, 2 starych) itd - ciąg ten dobrze opisuje wszelkiego rodzaju rozmnażanie / rozwój i w związku z tym często występuje w naturze

nie ma tu żadnej magii

fizyka, chemia, matematyka - to tylko próby opisania otaczającego świata - nie na odwrót

Zaczynacie oscylować w okolicach paradoksu czarnego łabędzia (http://en.wikipedia.org/wiki/Black_swan_theory) i numerologii. Daj mi liczbę a ja do niej odpasuję rzeczywistość.

Wieczny Knur napisał(a):

nie ma żadnych liczb w naturze a jeśli są (na przykład ilość palców u ludzi lub liczba protonów w jądrze) to przypadkowe lub wynikające z ewolucji (najlepiej sobie poradziły osobniki akurat z taką ilością palców) / praw fizyki (coś o innej strukturze się już po prostu rozpadło)

Pewnie że te liczby literalnie nie fruwają gdzieś... po łączkach... a kto coś takiego tu twierdzi?
A odnośnie jąder to tam na pewne nie są przypadkowe numery... wystarczy przejrzeć co nieco.
Pewnie zależności geometryczne tam rządzą, czyli głównie: 4, 6, 8, 12, 24... to z Platona, a dalej są zapewne: 30, 36, 48, 60, itp. też wcale przypadkowe.

Wieczny Knur napisał(a):

fizyka, chemia, matematyka - to tylko próby opisania otaczającego świata - nie na odwrót

Właśnie usiłuję to ująć, opisać... a myślałeś że co chcę - świat tworzyć... 4-ty raz?
No o był już tworzony trzy razy: 1 - biblia, 2 - geocentryzm, i 3 - współcześni... bombowi chłopcy. :)

A to tak idzie, logika jest następująca:
Rozkładamy fale na harmoniczne, i tam wyjdzie... to co widać wszędzie (najczęściej), czyli:
12, 24, 36, 60, 72, 144, 360, ... i 34560 też tam będzie - zakładasz się?

To są po prostu najbardziej prawdopodobne kombinacje różnych harmonicznych fal - więc najsilniejsze, najczęstsze;
i przyczyn czysto prozaicznych, podobnie jak wiele innych rzeczy, np. rozkład Gaussa,
zwany normalnym, bo jest powszechny - tak?

A to dlaczego akurat taki dziwny, a nie np. liniowy - jednostajny, albo sinx/x, czy coś tam?
No, zatem tłumacz się teraz...
a może twierdzisz że nie istniej taki rozkład wcale, bo to tylko taka nasza wygoda, czy fantazja?