Wstęp do macierzy

Macierz to nic innego jak wielowymiarowa tablica. Co to tablica? - każdy programista powinien wiedzieć. Macierzą może być również tablica jednowymiarowa - nie szkodzi. Jak widzimy, są to podobne pojęcia. I tutaj ważna rzecz: tablica to pojęcie stosowane w informatyce, natomiast "macierz" to pojęcie matematyczne. Bynajmniej nie są to te same obiekty, ale podobne do siebie. Można zatem udawać macierz poprzez tablicę.
Macierze oznaczamy dużymi literami, np. A,B,C... Przedstawiamy je za pomocą tabeli. Elementy poziome to wiersze macierzy, a pionowe: kolumny. Na przykład:

A:ARRAY[1..3] OF ARRAY[1..2] OF INTEGER;

Powyższa dwuwymiarowa tablica jest przedstawieniem macierzy złożonej z trzech kolumn oraz dwóch wierszy - macierz taka ma sześć elementów. Mówi się, że jest ona wymiaru 2x3.

Poszczególne wartości np. a[1,2], a[3,2] ... to wyrazy macierzy lub współczynniki macierzy. I tutaj istotna uwaga: w macierzach oznaczenia wymiarów są odwrotne niż w tablicach!!! Przykład:

• w tablicy element trzeci w pierwszym wymiarze to c[3,1]; - w macierzy natomiast jest to: c[1,3];
  Zatem jak widać nie trudno o pomyłkę.

Jeżeli ilość wierszy macierzy jest równa ilości kolumn, macierz taką nazywamy kwadratową stopnia n, gdzie n jest ilością wierszy / kolumn.

Na macierzach możemy wykonywać najrozmaitsze działania (dodawanie, mnożenie itd). Nie będę ich tutaj jednak opisywał ze względu na skomplikowaną postać matematyczną. Podpowiem tylko, że dodawanie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy oba macierze są tych samych wymiarów. Jeżeli taki warunek jest spełniony, to wykonujemy dodawanie dodając współczynniki na odpowiadających sobie miejscach.

Następne działanie to mnożenie macierzy przez skalar. Jako skalar rozumiemy dowolną liczbę rzeczywistą bądź zespoloną. Takie działanie wykonuje się bardzo prosto: mnoży się kolejne wyrazy macierzy przez ten skalar.

Gorzej ma się sprawa jeżeli chodzi o mnożenie macierzy. Nie jest to działanie przemienne! Zatem nie jest obojętnie, czy mnożymy np. AB, czy też BA (w tym wypadku wyniki są różne). Działanie jest możliwe, jeżeli ilość wierszy / kolumn jednej macierzy równa się odpowiednio: ilości kolumn / wierszy drugiej macierzy. Ale jak już wspomniał, nie będziemy tutaj mnożyć macierzy - jeżeli tego nie umiesz, znaczy, że wiedza ta nie jest ci potrzebna.

Macierz kwadratowa stopnia n nazywamy macierzą diagonalną, jeżeli wszystkie liczby oprócz głównej przekątnej macierzy są równe zeru. Główna przekątna macierzy to linia od "lewego górnego rogu" do "dolnego prawego rogu". Mnożenie macierzy diagonalnych jest przemienne.

Jeżeli natomiast mamy macierz diagonalną, a wszystkie elementy na głównej jej przekątnej są równe "1", to macierz tę nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy dużą literą "I". Mówimy o niej, że jest obiektem "neutralnym" dla mnożenia, ponieważ dla każdej macierzy A zachodzi: A*I=A.

Jeżeli w dowolnej macierzy przestawimy wiersze i kolumny, tak aby kolumny stały się wierszami, a wiersze kolumnami to otrzymamy tzw. macierz transponowaną. Jeżeli macierz ma wymiar nk, to macierz do niej transponowana ma wymiar kn. Jeżeli macierz transponowaną, transponujemy, wrócimy do macierzy pierwotnej.

Kolejnym bardzo ważnym pojęciem jest wyznacznik macierzy. Jest to najogólniej mówiąc funkcja, która każdej macierzy przyporządkowuje liczbę zespoloną (lub rzeczywistą). Liczenie wyznacznika macierzy dla macierzy wielowymiarowych jest bardzo skomplikowane, są jednak metody na ich obliczanie.

Ważniejsze własności wyznaczników:

• jeżeli chociaż jeden wiersz macierzy ma wszystkie elementy równe zero, wyznacznik tej macierzy równa się zero.
• wyznacznik zmieni znak, jeżeli przestawimy w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny.
• jeżeli każdy element pewnego wiersza lub kolumny pomnożymy przez dowolną liczbę "C", to wyznacznik macierzy będzie również pomnożony przez liczbę "C".

I to tyle jeżeli chodzi o wiadomości wstępne. Macierze mają różnorakie zastosowania, głównie w fizyce bądź matematyce (między innymi do rozwiązywania układów równań z dużą ilością niewiadomych). Właściwie, to sam ten dział wiedzy jest dość obszerny i wychodzi poza zakres "standardowej" matematyki.