równania nieliniowe z infor. całkową

@kwalifika: naprawdę nie wiem co ci napisać. Na początku zakładałem, że masz wiedzę o tym, co piszesz ale po tej serii postów straciłem nadzieję.

1. Skoro przeczytałeś, że można stosować rachunek całkowy w literaturze fachowej to nie powinieneś ani sam zgadywać, ani pisać innym, żeby zgadywali o co ci chodzi. Taka metoda jest gdzieś na pewno opisana, zajrzyj do tej książki i sformułuj pytanie ponownie.
2. Na początku pisałeś o metodzie Newtona wyznaczania funkcji w punkcie po to tylko, żeby przeskoczyć do interpolacji.
3. Zgadujesz jakieś kwestie pisząc "prawdopodobnie" i potem używasz tego jako dowodu w swoich dalszych rozważaniach.

Tak na koniec - masz tutaj kilka rzeczywistych przykładów, kiedy całkowanie funkcji ułatwia jej analizę:

• https://en.wikipedia.org/wiki/PID_controller#Mathematical_form
• https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
• https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem
  Zauważ, że jest to inna klasa problemów niż znajdywanie zera funkcji. Dlaczego tam korzysta się z całek, a nie przy prostym znajdywaniu pierwiastków - już tłumaczyłem.

Drobna dygresja odnośnie obliczeń numerycznych.

Chcemy obliczyć całkę w przedziale [a,b] z dowolnej funkcji: y = f(x),
ale za pomocą tylko wartości samej funkcji i pierwszych pochodnych, czyli mamy jedynie: y(a), y'(a), y(b) i y'(b);

• jaki jest wzór - wynik?
• jaki ma to rząd: 1, 2 a może 7?
• jaki ma to błąd maksymalny?

Nie ma takiej możliwości i błąd jest inf. Prosty przykład takiej funkcji:
weźmy funkcje która w punktach a i b ma ekstrema lokalne (więc pochodna wynosi 0) i dodatkowo a i b to miejsca zerowe tejże funkcji np. wielomian 4go stopnia: k*((x-a)^2 * (x-b)^2).
Wiemy że a i b to miejsca zerowe, plus wiemy że pierwiastki są podwójne, więc funkcja ma tam ekstremum i się "odbija". Wygląda to np. tak https://www.desmos.com/calculator/omxxo0dx4f (dla a=1, b=-1 i k=10)
Nie trudno zauważyć że f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0 a jednak w zależności od a,b i k całka na przedziale a,b może wynosić -inf,+inf. QED.

Mylisz się.
Błąd takiej metody byłby 4-go rzędu, czyli proporcjonalny do 4-tej pochodnej (dlatego to jest metoda 4-go rzędu).

Jak rozwiązać równanie za pomocą 4 danych: dwóch wartości y(a) i y(b), oraz dwóch pochodnych y'(a) i y'(b)?
szukamy zera y, czyli x0 który spełnia warunek: y(x0) = 0

Proste: za pomocą interpolacji odwrotnej.

kwalifika napisał(a):

Mylisz się.
Błąd takiej metody byłby 4-go rzędu, czyli proporcjonalny do 4-tej pochodnej (dlatego to jest metoda 4-go rzędu).

Jak rozwiązać równanie za pomocą 4 danych: dwóch wartości y(a) i y(b), oraz dwóch pochodnych y'(a) i y'(b)?
szukamy zera y, czyli x0 który spełnia warunek: y(x0) = 0

Proste: za pomocą interpolacji odwrotnej.

Kolego, chcesz podyskutować, to zdefiniuj porządnie zagadnienie, a nie jakieś pierdoły wypisujesz o całkowaniu dowolne funkcji i używaniu informacji całkowej (którą to raz uznajesz za pochodne, a innym razem obstajesz przy ujemnych rzędach). To, że funkcja jest całkowalna nie oznacza, że jest różniczkowalna.

Dla prostej funkcji zdefiniowanej na zbiorze licz rzeczywistych:
f(x) = 0 dla x wymiernego, 1 dla niewymiernego.

Całkowalna?
Różniczkowalna?
Co Ci da Twoja interpolacja odwrotna?

Nie mówię o dziwolągach nieanalitycznych, lecz o zwyczajnych funkcjach - ciągłych, gładkich i do tego odwracalnych!

zadaniem jest wyznaczanie zera:
y(x0) = 0

odwrotna funkcja:
x(y=0) = x0

i tak to należy rozpatrywać!

co znaczy że szukamy zera: funkcji monotonicznej!

Przykładem błędnego zastosowania wzorów jest próba liczenia zera
za pomocą metody Newtona, lub pokrewnych opartych na odwracaniu!, funkcji niemonotonicznej.

Nie istnieje funkcja odwrotna do funkcji.. niejednoznacznej - jasne!

przykład:
y = x^3 - 3x - 1

odwrotna:
x(y) = ?

nie istnieje taka funkcja, niestety.

Wciąż czekam na odpowiedzi: jak wykorzystać informację całkową w rozwiązywaniu równań nieliniowych?

@kwalifika: Czyli nagle z "dowolnej funkcji" robi się, różniczkowalna, gładka, a dodatkowo monotoniczna ;) Jeszcze trochę i zredukujemy to do funkcji liniowych ;)

Ten Twój przykład: x^3 - 3x -1 nie jest monotoniczny.

Dla monotonicznych programista zapewne weźmie brute forcem (połowienie przedziału).

Nie rozumiesz o co w tym chodzi.

Metoda Newtona jaki i te dalsze - z wyższymi pochodnymi, są po prostu aproksymacjami funkcji odwrotnej!

Zatem jaki z tego wniosek należy wyciągnąć?

Gdy szukamy zera funkcji niemonotonicznej, wtedy należy podzielić taką funkcję na przedziały - monotoniczne!,
i dopiero wtedy stosować te metody - bo one pracują tylko na odwrotnych funkcjach!

Przykład: szukamy zera x^3 - 3x - 1, ale tylko jednego naraz - jasne?

widzimy że zero jest w okolicach x= 2, oraz drugie -0.4m -1.6, więc możemy sobie spokojnie zrobić odwrotną w przedziale np.: [1.5, 2.5], i tam szukać zera;
nie możemy stworzyć odwrotnej 0 do 3 - bo taka funkcja nie istnieje!

Gdy szukamy wszystkich zer wtedy robimy to kolejno - przedziałami, bo naraz nie da rady.

@kwalifika:

kwalifika napisał(a):

Nie rozumiesz o co w tym chodzi.

Możliwe, dlatego zadaję pytania by zrozumieć ;)

Metoda Newtona jaki i te dalsze - z wyższymi pochodnymi, są po prostu aproksymacjami funkcji odwrotnej!

Zatem jaki z tego wniosek należy wyciągnąć?

No właśnie czekam w napięciu na te wnioski.

Gdy szukamy zera funkcji niemonotonicznej, wtedy należy podzielić taką funkcję na przedziały - monotoniczne!,
i dopiero wtedy stosować te metody - bo one pracują tylko na odwrotnych funkcjach!

A niby jak będziesz dzielił na przedziały monotoniczne? Na wejście dostajesz funkcję, np. sin(1/x) - pewnie złą wybrałem, bo ma nieciągłość w 0, ale chyba 1 punkt nie robi aż takiej różnicy?