zauwazylem, ze majac liczbe np:
0,00(23) to mozna ja zapisac jako 23/9900.
0,00(45) = 45/9900
czyli tyle ile tych czerwonych zer w postaci dziesietnej, to tyle samo w mianowniku. ziolona liczbe przenosimy do licznika. a ilosc 9 w mianowniku jest rowna ilosci cyfr w liczniku :)
mam nadzieje, ze jest to zrozumiale, co pisze.
moje pytanie brzmi: jak udowodnic to matematycznie?
Ciekawe.. nie znałem tej zależności :)
Może dowód na zasadzie indukcji matematycznej?
;) nie da sie tego udowodnic, a dlaczego?
bo to nie jest prawdziwe
23/9900 albo jak kto woli (23/99)/100 jest liczba wymierna
Kazda liczba wymierna pomnozona przz wymierna adje yierna
Natomiast 0,00(23) = 0,002 +E(n=0)2*10^(-4-n) jest liczba niewymierna
E(n=0) to znak sumy od n=0 do inf
Ciekawostka: 0.(9) =1 co latwo dowiesc
// 0.9(9) bo taki jest prawidlowy zapis jest mniejsze od 1 zawsze. inaczej byloby to dokladnie 1. granica ciagu owszem, ale nie liczba. poza tym 23/99 jest wymierne na tej samej zasadzie co 1/3, czyli na zadnej [mf]
Ja tez tej zaleznosci nie znalem, a co do prawdziwosci.. kalkulatorek pokazuje, ze np. 23/9900 daje 0.002323... wiec cos w tym jest, ale jak tego dowiesc nie wiem, cos tam bylo na lekcjach podobnego, ale nie pamietam jak to szlo :P
nie bardzo kumam o co lotto, znaczy się nie wiem jak się matematycznie udowadnia no ale:
skoro x = 0,00(23)
to 100x = 0,23(23)
a 10000x = 23,23(23)
czyli 10000x - 100x = 23,23(23) - 0,23(23)
9900x = 23
więc x = 23 / 9900
no ale z tego wychodzi że 0,(9) to 1 więc to nie jest tak do końca prawda, zaokrągla jakby tam w górę przy tej ostatniej pozycji, tam tuż koło nieskończoności ;)
Adamo napisał(a)
no ale z tego wychodzi że 0,(9) to 1 więc to nie jest tak do końca prawda
Dziwne, mnie zawsze uczono ze 0,(9) = 1..
Adamo: wlasnie dzis mailem na lekcji tak jak ty pokazujesz. zrobilem pare przykladow i wymyslilem ten sposob. powiedzialem babce. mowi, ze jak dam dowod matematyczny to dostane 6. dlatego siedze i mysle :/
michand napisał(a)
Dziwne, mnie zawsze uczono ze 0,(9) = 1..
WOW,. od kiedy?? Tego to jeszcze nie słyszałem :D
Nie myl granicy z równością...
Marooned napisał(a)
michand napisał(a)
Dziwne, mnie zawsze uczono ze 0,(9) = 1..
WOW,. od kiedy?? Tego to jeszcze nie słyszałem :D
Nie myl granicy z równością...
ale 0,(9) jest rowne 1 :-)
1/3 + 2/3 = 3/3 = 1
0,(3) + 0,(6) = 1
0,(9) = 1
:-)
Karolaq: Jest bardziej profesjonalna metoda na dowiedzenie tego :]:
x=0.(9) / *10
9x=9
x=1
Proste :]
Na podobnej zasadzie można dowieść tego, co jest na początku:
x=0,00(45) / *100
100x=0,(45) / *100
10000x=45,(45) / -100x
9900x=45
x=45/9900
No i jest. Na tej samej zasadzie dla przypadku ogólnego:
x=0,0...0(a...n) / *10...0 {tyle zer ile na początku}
10...0x=0,(a...n) / *10...0 {tyle zer ile cyfr a...n}
10...00...0x=a...n,(a...n) / -10...0x {Tyle zer ile powyżej}
9...90...0x=a...n / :9...90...0 {tyle dziewiątek ile zer powyżej, tyle zer ile zer na początku}
x=a...n/9...90...0
//P.S. Oczywiście w tym ostatnim przypadku to jest nieprofesjonalny zapis, ale to nie ja mam 6 za to dostać z matmy :] - Myślę, że ideę widać, teraz to tylko przełożyć na należyty język.
A z logicznego punktu widzenia pomysl o ile to jest troszke ponizej 1, no 0.99999...9 i koniec, na 9 sie zatrzymujemy, ale 0,(9) nie ma konca wiec to nie jest troche mniej niz 1 (nie ma roznicy, bo jakby byla to zawsze bylbys w stanie ja zmniejszyc), no wiec co innego? 1 :)
Adamie: napisales mi to co odkrylem :) ale to nie jest dowod. to na razie jest moja teza ;) potrzebuje dowodu, nie przykladu.
To da się dowieść, zapisując ułamek okresowy jako sumę szeregu. Jeśli b to nieokresowa część danego ułamka, a a to okresowa (i a jest naturalne), to wtedy:
ułamek = b+(a*10^-n)*(10^-[log a+1]+10^-2[log a+1]+10^-3[log a+1]+...) =
b+<i><font color=blue>{suma szeregu geom:a1/(1-q)}</font></i>(a*10^-n)/(1-10^-[log a+1]) =
<i><font color=blue>{rozszerzamy ułamek przez 10^n}</font></i> = b+a/(10^n-10^(n-[log a+1]) =
b+a/(10^(n-[log a+1])*(10^[log a+1]-1) =
<i><font color=blue>{10^x-1 = 99..9 (x razy)}{i zawsze k=n-[log a+1]>=0}</font></i> =
b+a/10^k*99..9<i><font color=blue>{[log a+1] razy}</font></i>.
(gdzie [x] to cecha z x).
Przykład: 123,45(678). b=123,45; a=678; n=5; zatem
123,45(678) = 123,45 + 678/99900.
cbdo. :P
PS: wersja bardziej ludzka: http://matfiz.hostingowy.pl/eq.gif
Aha, i [log a]+1 to po prostu ilość cyfr liczby a :].
Adam.Pilorz napisał(a)
x=0.(9) / *10
- 10x=9.(9)
9x=9
x=1
Proste :]
8-|
Uczono mnie matmy przez ok. 16 lat i czegoś takiego nie słyszałem :| Rzuciłem okiem na wikipedię i niby piszą, że 0,(9) = 1 ale to dla mnie jakaś herezja.. :| Piszą, że można se dodać '1' na ostatniej pozycji (która nota bene nie istnieje) i to będzie to samo.. nie kumam - to jak do dowolnej liczby dodamy inną liczbę to w wyniku nie otrzymamy tej pierwszej tylko nową wartość :|
Czyli wg tego
1 1
----- = ---------
1 - 1 1 - 0,(9)
A to raczej nie jest prawda.. pierwszy ułamek to wał [dzielenie przez zero] a drugi powinien być nieskończonością [dodatnią] - znów źle? 8-|
ehhh..
1=0.(9)
1=0.99999...
1=0.9+0.09+0.009+...
1=suma szeregu geoetrycznego, od n=1, gdzie a1=0. a q=(1/10)^(n-1)
ze wzoru na szereg
a1/(1-q)
0.9/(1-0.1)=0.9/0.9 = 1
//wzoru na szerego geom . nie udowadniam bo z tym chyba sie wszyscy zgadzaja
Marooned napisał(a)
Piszą, że można se dodać '1' na ostatniej pozycji (która nota bene nie istnieje) i to będzie to samo.. nie kumam - to jak do dowolnej liczby dodamy inną liczbę to w wyniku nie otrzymamy tej pierwszej tylko nową wartość
No i z tym się zgodzę. Bo to jakaś amatorska argumentacja :]. Ale prawda jest taka, że 0.(9) to jest 1. A wracając do podanego przykładu:
1 1
----- --------
1-1 1-0(9)
to twierdzisz, że pierwszy ułamek nie istnieje. To prawda. Ale co do drugiego - mówisz, że jest równy +inf. No ale zwróć uwagę, że nie istnieje liczba +inf. Jest oczywiście granica w +inf. oraz -inf., ale liczba taka nie istnieje. No i co do granicy to się zgadza w obydwu przypadkach:
lim(x->1) 1/1-x=+inf.
lim(x->0,(9)) 1/1-x=+inf.
Tak przynajmniej IMVHO.
Marooned napisał(a)
Czyli wg tego
1 1
----- = ---------
1 - 1 1 - 0,(9)
A to raczej nie jest prawda.. pierwszy ułamek to wał [dzielenie przez zero] a drugi powinien być nieskończonością [dodatnią] - znów źle? 8-|
Źle, 1 - 0,(9) nie jest wieksze od 0, no bo jesli by bylo to ile? Nie ma czegos takiego jak 0,(0)1 (0 jest nieskonczenie wiele a nieskonczonosc to nie jest konkretna liczba jak juz Adam napisal, no bo jesli tak to dlaczego oo+1=oo? Albo dlaczego oo/oo jest nieoznaczone?), jakiej liczby bys od 1 nie odjal to i tak to bedzie za duzo zeby otrzymac 0,(9). Poza tym dowodow jest masa, o chocby:
1/3 = 0,(3) => 3/9 = 0,(3)
3/9 = 0,(3) /*3
9/9 = 0,(9)
A tak swoja droga to nieskonczonosc to bardzo ciekawy temat, np kto powie, gdzie jest wiecej liczb rzeczywistych, pomiedzy 1 a 2, czy 1 a 10? Ktos powie, ze miedzy 1 a 10 no ale jesli tak jest to jak to mozliwe, ze cos jest wieksze od nieskonczonosci? :)
//A fe, tak to jest jak sie chce byc madrym :D, jasne, ze 0,...
moze w tej calej matematycznej dyskusji to ktos powiedzial a ja nie wychwycilem, ale na moje to 0,(9) jest po prostu liczba niewymierna. czyli taka, ktorej nie da sie przedstawic w postaci ulamka zwyklego i dlatego w ten czy inny sposob wychodzi 1, co wcale nie znaczy ze 0,(9) = 1. owszem ma granice w 1, ale nie jest rowne. i skoro liczba jest niewymierna to nie stosuje sie do niej praw liczb wymiernych (przynajmniej nie wszystkie).
0,(9) to jest liczba wymierna, ba! nawet więcej, naturalna. I równa 1. Ani trochę mniej, ani trochę więcej. Dokładnie 1. Zapis dziesiętny z okresem to jest właśnie granica. Dokładniej, suma szeregu geometrycznego. Więc zapis:
0,(a) oznacza lim(n->+inf) Sum(i=1, n) 10^-i*a.
A chyba nikt nie wątpi w poprawność dowodu wzoru na sumę szeregu geometrycznego? Zgodnie z nim, ta suma wynosi (jeśli a to cyfra), a/9.
Zatem, w szczególnym przypadku, gdy a=9, to ta granica, czyli 0,(9) = 1.
vixen03 napisał(a)
...
No ale da sie przedstawic jako 1, a to juz jest wymierne.
Prawda jest taka, ze trudno jest sobie wyobrazic liczbe 0,(9) bo do kazdego naszego "wyobrazzenia" mozemy podac jeszcze pare dziewiatek, wiec skoro nie potrafimy tego sobie wyobrazic to dlaczego ma to byc nieprawda?
Wykladowca na PWr fajnie przedstawil sens liczb zespolonych: jednostki urojone sa ... urojone :), nie sa rzeczywiste, wiec nie ma sensu sie o nich uczyc, ale ktore liczby sa rzeczywiste? Czy jest taka liczba ktora mozna polozyc na stole?
Wiec teraz skoro potrafimy przyjac takie zalozenie, ze i = sqrt(-1) co spelnia wszystkie zalozenia/prawa matematyki to czemu nie mozemy zaufac matematyce i przyjac, ze 0,(9) = 1 skoro wszystko na to wskazuje (kto udowodni, ze tak nie jest?)?
A tak w ogole to 0,(9) to liczba a lim(przy jakichkolwiek zalozeniach)C = C (C - jakas stala - liczba, czyz nie?), wiec kolejny dowod :)
Dziwnych rzeczy się tu dowiaduję ;p
Ponoć człowiek uczy się przez całe życie...
A ciekawi mnie ten zapis:
x = 0,(3) /*3
3x = 0,(9)
a ile będzie w takim razie wynosiła liczba np.:
0,(4) * 3 ?
bo jakoś tak średnio widzę mnożenie liczb nieskończonych (okresowych) ...
[do postu poniżej]
racja? racja! :)
Marooned napisał(a)
Dziwnych rzeczy się tu dowiaduję ;p
Ponoć człowiek uczy się przez całe życie...A ciekawi mnie ten zapis:
x = 0,(3) /*3
3x = 0,(9)a ile będzie w takim razie wynosiła liczba np.:
0,(4) * 3 ?
bo jakoś tak średnio widzę mnożenie liczb nieskończonych (okresowych) ...
1,(3)
mnozy sie tak samo jak zwykle liczby, o ile "iloczyn poszczegolnych cyfr" (czy jak to tam nazwac) jest mniejszy od 10 (0,(4) * 3 tego akurat nie spelnia, stad te zaciekawienie, racja?). Wg tego co w szkole uczyli, trzeba by bylo w takim wypadku mnozyc od "konca" (najmniej znaczacej cyfry) kazda cyfre itp, tyle, ze nie ma konca. Jak jest to np 0,(3) to spokojnie mozemy zaczac od "poczatku", no ale nie wazne, to kazdy wie.
Caly pic w 0,(3) np polega na tym, ze dosyc latwo operowac na policzalnej nieskonczonosci, czyli wiemy co znajduje sie w obojetnie jakim miejscu po przecinku tej liczby (oczywiscie jest to 3), ta wiec wiemy jaka bedzie cyfra w kazdym miejscu iloczynu (9).
Wynik to 1,(3) bo, 0,(4) = 4/9 (w koncu o takiej zamianie jest ten watek :), z niego rowniez wynika, ze 0,(9) to 9/9 :P), reszta to tabliczka mnozenia do 20 :)