Czy łuk zaznaczony na rysunku ma większą długość niż odcinek AB ?
Proszę o pomoc przy rozwiązaniu bo mi wychodziły różne straszne rzeczy (które nijak miały się do odpowiedzi z tyłu książki).
Pozdrawiam
0
0
Witam
Niech R jest promieniem okręgu. Wówczas długość odcinka AB wynosi :
2R/sqrt(3)
( gdzie funkcja "sqrt" jest funkcją 'pierwiastek kwadratowy' )
natomiat długość łuku wynosi :
pi * R / 6
Od razu widać, co jest dłuższe.
Pozdrawiam
JK
0
@up:
|AB| = r * sqrt(3) na moje oko bo:
2r / sin(60) = |AB|/sin(30) na podstawie twierdzenia sinusów, z tego mamy
|AB| = 2r* sin(30)/sin(60) = (2r * 1/2)/(sqrt(3)/3) = 3r/sqrt(3) = r*sqrt(3)
długość łuku to 60/360 * 2pi*r = pi/3 * r
ponieważ kąt środkowy jest 2 razy większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku
więc pytanie brzmi czy sqrt(3) jest mniejsze czy większe od pi/3
sqrt(3) = 1,7320508075688772935274463415059
pi/3 = 1,0471975511965977461542144610932
więc odpowiedź brzmi: NIE
0
długość łuku to 60/360 * 2pi*r = pi/3 * r
Skąd wziąłeś to 60? Mógłbyś pokazać to na rysunku? Podzieliłeś to tak aby uzyskać ten kąt? (tylko że wtedy 1/4 łuku zostaje tak jakby wywalona)
Pozdr.
0
60 stopni ma kąt ABX, jeśli za X przyjmiemy wierzchołek tego trójkąta prostokątnego.
0
Shalom napisał(a)
@up:
|AB| = r * sqrt(3) na moje oko bo:
2r / sin(60) = |AB|/sin(30) na podstawie twierdzenia sinusów, z tego mamy
|AB| = 2r* sin(30)/sin(60) = (2r * 1/2)/(sqrt(3)/3) = 3r/sqrt(3) = r*sqrt(3)
(...)
Zgadzałoby się, gdyby sin(60) byłby równy sqrt(3)/3 (a tak nie jest: sin(60) = sqrt(3)/2). W efekcie, idąc Twoim sposobem, również otrzymamy 2r/sqrt(3) - jak powiedział koniaku.
On jednak pomylił się przy obliczaniu kąta łuku. (60/360 * 2pi*r jest prawidłowo, jednak:
kubARek napisał(a)
60 stopni ma kąt ABX, jeśli za X przyjmiemy wierzchołek tego trójkąta prostokątnego.
to już prawda nie jest. 60 stopni wzięło się z kąta środkowego (odpowiadam, by nie wprowadzać zakładającego temat w błąd). Jeżeli mamy 2 kąty oparte na jednym łuku - jeden z nich od środka okręgu, a drugi od łuku tego okręgu, kąt środkowy jest 2 razy większy.
pozdrawiam.
0
ajjj taki byk, aż strach patrzeć ;] Mea culpa, faktycznie tam ma być sqrt(3)/2 ;)
0
[...] i wszystko stało się jasne.
Wielkie podziękowania w waszą stronę ;)
Pozdrawiam
0
onaa - możesz podać tytuł książki?
0
Mam jeszcze jedno zadanie:
"Z punktu P poprowadzono dwie styczne do okręgu o promieniu 4cm. Kat między stycznymi ma miarę 60stopni. Znajdź odległość punktu P od środka okręgu."
(Rysunek chyba dobrze wykonałam.)
Wyliczyłam, że ta odległość wynosi 4sqrt(3), ale jest to błędne bo w odpowiedziach jak zwykle jest coś innego.
Pozdrawiam.
PS. @Ciekawski Matematyka II.
0
Z właściwości trójkąta '30,60,90', długość |PS| = 8cm. Nie widać tego po rysunku, bo kąt między stycznymi jest dużo mniejszy niż 60 stopni.
EDIT: a właściwości tego trójkąta wynikają oczywiście z trygonometrii (sin(30) = 1/2).
0
kubARek napisał(a)
60 stopni ma kąt ABX, jeśli za X przyjmiemy wierzchołek tego trójkąta prostokątnego.
to już prawda nie jest. 60 stopni wzięło się z kąta środkowego (odpowiadam, by nie wprowadzać zakładającego temat w błąd). Jeżeli mamy 2 kąty oparte na jednym łuku - jeden z nich od środka okręgu, a drugi od łuku tego okręgu, kąt środkowy jest 2 razy większy.
pozdrawiam.</quote>
Nie rozumiem tego twierdzenia. Co to znaczy, że: kąt jest oparty na łuku od łuku ?
0
na szybko odpisywałem, chodzi o twierdzenie o kącie środkowym:
0
Niezależnie od położenia punktu X (byle leżał na okręgu), kąt AXB jest dwa razy mniejszy od kąta AOB.
0
To jest jeszcze prostsze. Rysujesz sobie średnicę okręgu(pionowo), tak, żeby połączyła ramiona kąta.
Powstał Ci wielki trójkąt. Jako, że trójkąt jest równoramienny, a jeden kąt jest dany, można obliczyć pozostałe kąty. Kąty trójkąta rónoramiennego przy podstawie są sobie równe.
Suma kątów wewnętrznych trójkąta to 180 stopni, a więc 180 - 60 = 120. Z tego wychodzi, że kąty przy średnicy też mają 60 stopni (120 / 2).
Czyli co to za trójkąt, który wszystkie kąty ma równe? Jest to trójkąt równoboczny. Średnicę(podstwę trójkąta) masz daną, więc wystarczy wyliczyć wysokość.
Jest przynajmniej jeszcze jedna metoda.
Zrobić z tego trójkąta 2 trójkąty prostokątne i mając dane kąty i jeden bok, możesz sobie wyliczyć drugi bok.
0
Zaciekawiło mnie (w pierwszym zadaniu) czy ma znaczenie, że kąt ma .
Nie ma. Promień okręgu nie ma znaczenia, można założyć, że wynosi 1. Posługuję się miarą łukową kąta.
Długość odcinka AB wynosi 2 tg(a),
długość łuku AC wynosi b = 2a. A ponieważ dla każdego kąta a < tg(a), to łuk jest zawsze krótszy.
0
Juhas napisał(a)
To jest jeszcze prostsze. Rysujesz sobie średnicę okręgu(pionowo), tak, żeby połączyła ramiona kąta.
Powstał Ci wielki trójkąt. Jako, że trójkąt jest równoramienny, a jeden kąt jest dany, można obliczyć pozostałe kąty. Kąty trójkąta rónoramiennego przy podstawie są sobie równe.Suma kątów wewnętrznych trójkąta to 180 stopni, a więc 180 - 60 = 120. Z tego wychodzi, że kąty przy średnicy też mają 60 stopni (120 / 2).
Czyli co to za trójkąt, który wszystkie kąty ma równe? Jest to trójkąt równoboczny. Średnicę(podstwę trójkąta) masz daną, więc wystarczy wyliczyć wysokość.
Jest przynajmniej jeszcze jedna metoda.
Zrobić z tego trójkąta 2 trójkąty prostokątne i mając dane kąty i jeden bok, możesz sobie wyliczyć drugi bok.
nie, nie jest to prawda. Średnica okręgu (pionowa) nie połączy ramion kąta. Ramiona kąta są styczne do okręgu, a kąt między promieniem okręgu a jego styczną, jest równy 90stopni. Wynika z tego, że jeżeli mógłbyś połączyć średnicą okręgu dwie styczne - te styczne musiałyby być równoległe - nie byłoby żadnego trójkąta (przynajmniej w kartezjańskim układzie). Jeżeli chcemy połączyć promienie ze stycznymi, musi być to tak przedstawione jak na rysunku, który zamieściłem post wyżej.
bo napisał(a)
Zaciekawiło mnie (w pierwszym zadaniu) czy ma znaczenie, że kąt ma
.
Nie ma. Promień okręgu nie ma znaczenia, można założyć, że wynosi 1. Posługuję się miarą łukową kąta.
Długość odcinka AB wynosi 2 tg(a),
długość łuku AC wynosi b = 2a. A ponieważ dla każdego kąta a < tg(a), to łuk jest zawsze krótszy.
Zwróć uwagę, jakie założenie musiałeś przyjąć do takiego rozumowania: Promień okręgu nie ma znaczenia, można założyć, że wynosi 1. sam stwierdziłeś, że jednak jest potrzebny. Jeżeli byś takiego założenia nie poczynił, nie mógłbyś wyznaczyć długości AB z tangensa (brakowałoby Ci tej 'dwójki'). Wiem w jakim sensie to pisałeś, że 'r nie ma znaczenia', ale zauważ, że w rozwiązaniach, które podali ludzie do pierwszegoz zadania, ostatecznie też nie interesuje nas 'r' - w sensie: ostateczne porównanie długości przeprowadzane jest na zasadzie x * R, gdzie to 'x' (współczynnik przy R) udziela nam odpowiedzi na pytanie.
EDIT: aa, sory bo pomyliłem o czym pisałeś, jakoś mi się przeczytało, że o 'r' mówisz a nie o kącie. O kącie masz oczywiście rację :).
0
Witam
Znów mam problem. :/
Sprawdź tożsamość:
tg α+ctg α=(1/sin α*cos α)
1+ctg α=(sin α+cos α/sin α)
Pozdrawiam
0
Żartujesz sobie?
1.
tg(x) + ctg(x) = sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x) = (sin2(x) + cos2(x)) /sin(x)*cos(x) = 1/sin(x)*cos(x) cbdo
najpierw zamieniasz tg(x) z definicji na sin(x)/cos(x) a potem spowadzasz te dwa ułamki do wspólnego mianownika. Korzystasz z rożsamości sin2(x) + cos2(x) = 1 i masz
2.
1 + ctg(x) = 1 + cos(x)/sin(x) = (sin(x)+cos(x))/sin(x) cbdo
zamieniasz z definicji ctg(x) na cos(x)/sin(x) a potem sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika.
Wiesz że takich rzeczy uczą w 3 klasie podstawówki?...
0
Witam
To znowu ja. ;)
Wiedząc, że sinα+cosα=1,1, oblicz |sinα-cosα|.
Pozdrawiam
0
- sin + cos = 1
- sin2 + cos2 = 1
z 1) robimy: (sin + cos)2 = sin2 + cos2 + 2sincos = 12
łączymy z 2) i mamy sincos = 0
z czego wynika ze sin = 0 lub cos = 0
Wiemy że ekstremum sinusa wypada tam gdzie cos = 0 i odwrotnie, ekstremum cosinusa wypada tam gdzie sin = 0
Wynika z tego że skoro sincos = 0 to |sin - cos| = 1
bo albo sin = 0 i cos = 1 albo sin = 1 i cos = 0