[matematyka] Macierze przekształceń

przeglądając przykładowe zadania na kolosa którego mam mieć po świętach natrafiłem na dwa zadania za które nie wiem jak się zabrać, będę wdzięczny za jakąś pomoc, oto one:

zad 217.
Dana jest macierz przekształcenia liniowego g R^{2 -> R}2
Macierz A :

| -1  1 |
|  2  0 |

Wyznacz wszystkie bazy, przy których obrazem wektora (2,0) jest wektor (0; -3).

zad 219
Dana jest macierz przekształcenia liniowego przy pewnej bazie
Macierz A:

|1 1|
|0 1|

Wykazać, że nie istnieje baza, przy której macierzą tego przekształcenia byłaby macierz

| 1 1 |
| 1 1 |

W ogóle nie mam pomysłu jak się za nie zabrać :-/

Co do 219:
Ja bym spróbował pokazać, że nie istnieje macierz przejścia (P), tże:
P^(-1)AP = B <- jest nieprawdą dla każdej macierzy przejścia o odp. wymiarach.
A to 1,1,0,1. Baza tego odwzorowania: I
B: 1,1,1,1.
Dowolna macierz nieosobliwa jest macierzą przejścia.
Najlepiej pokazać to niewprost:
Załóżmy, że taka macierz istnieje.
Wtedy:
det(P^(-1)AP) = det(B)
det(B) = 0, det(A) = 1
więc: (det(P)^-1)*det(A)*det(P) = 0
Skoro założyliśmy, że macierz P istnieje i jest nieosobliwa, to det(P) != 0 => det(A) = 0, co jest sprzecznością.
Wniosek:
Nie istnieje macierz przejścia z bazy I do jakiejkolwiek innej bazy, tże P^(-1)AP = B, czyli nie istnieje baza, w której tamto przekształcenie wyrażaneby było przez macież B.

//też mam zaraz po świętach kolosa z algebry... czyżby agh? ;>

Dzieki, a co do drugiego to studiuje na politechnice

Dopisane :
mam jeszcze jedno pytanie jak udowodnić że B = P^(-1)AP dla dowolnych baz?

Na razie wychodze od tego:
Y = AX X=PX'
Y' = BX' Y=QY'
i dalej :
QY' = AX
QY' = APX'
Y' = Q^(-1) * PX' / Y =BX' a więc usuwam po obu stronach x' ( nie wiem czy tak można =P )
B = Q^{(-1) * P / jeżeli to co wyżej jest ok, to trzeba udowodnić że Q}(-1) = P^(-1)*A?

Hm... My po prostu poznaliśmy twierdzenia, o równoważności macierzy i odwzorowań (m.in. składanie odwzorowań to mnożenie macieży) i u nas, to tw. jest uznawane za oczywiste. W sumie to jest dość trochę dowodów.
I na podstawie tych twierdzeń uzasadniliśm twierdzenie o zamianie baz.

Tak btw, ostatnio jeszcze się dowiedzieliśmy, że fakt, iż 2 macierze są macierzami tego samego odwzorowania w różnych bazach jest równoważny temu, że są równego rzędu.