Iloczyn wektorowy dwóch wektorów dwuwymiarowych jest liczb, lub wektorem jeśli mamy do czynienia z trzema wymiarami. A co z inną liczbą wymiarów ? 1, 4...
Potrzebuje jakoś uogólnić metode otrzymiania iloczynu wektorowego dla dowolnej liczby wymiarów.
0
0
Pewności nie mam, ale od razu się narzuca odpowiedź, że jesli iloczynem wektorowym wektorów 2-wymiarowych jest liczba, a iloczynem wek. 3-wymiarowych jest wektor 2-wym (czyli uporządkowana para liczb), no to iloczynem wektorowym wektorów N wymiarowych jest wektor N-1 wymiarowy (czyli N-1 uporządkowanych liczb).
Nie ręczę, ale chyba logoczne :P
Pozdrawiam
//D: no coż z algebry miałem 4 ale przez przypadek ;)
0
id: trochę źle gadasz. Nie wczytałeś się w to co zostało napisane.
To może ja spróbuję coś wykombinować.
Wektor jednowymiarowy = skalar. Mnożyć 2 skalary potrafimy. Jest to liczba.
Mnożenie 2 wektorów 2-wymiarowych (iloczyn skalarny, bo wektorowy nie ma sensu):
a_x a_y
b_x b_y = a_x * b_y - a_y * b_x
Mnożenie 2 wektorów 3-wymiarowych:
x y z
a_x a_y a_z = [a_y * b_z - b_y * a_z, a_z * b_x - a_x * b_z, a_x * b_y - a_y * b_x]
b_x b_y b_z
Mnożenie 2 wektorów 4-wymiarowych musiałoby być czymś na styl:
x_1 y_1 z_1 t_1
x_2 y_2 z_2 t_2
a_x a_y a_z a_t = ... jakieś mocno skomplikowane wyrażenie, gdzie należałoby pogrupować ze względu na kombinacje [x_1 ... t_1] * [x_2 ... t_2]
Jednym słowem. Niezłe zakręcenie i nie wiem, czy gdziekolwiek stosowane w praktyce. Pewnie matematycy powinni się tutaj wypowiedzieć.
b_x b_y b_z b_t
0
Dla przestrzeni n-wymiarowej iloczyn wektorowy ma sens dla n-1 argumentów, czyli w 4 wymiarach możesz liczyć iloczyn wektorowy dla 3 wektorów.
W przypadku 3 wymiarów iloczyn wektorowy dwóch wektorów u,v, to był taki wektor z, prostopadły do u oraz do v, posiadający długość odpowiadającą polu równoległoboku rozpiętego przez wektory u,v. |uxv|=|u|*|v|*sinT, gdzie T to kąt między wektorami u,v.
Dla n=3 liczyło się go w praktyce jako wyznacznik pewnej macierzy. Np. u=(x1,x2,x3), v=(y1,y2,y3), e1,e2,e3 - reprezentują wektory jednostkowe ( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).
|e1 e2 e3|
|x1 x2 x3| = e1|x2 x3| - e2|x1 x3| + e3|x1 x2|
|y1 y2 y3| |y2 y3| |y2 y3| |y1 y2|
Czyli uv=[x2y3-y2x3, -x1y3+y2x3, x1y2-y1*x2]
Dla 4 wymiarów trzeba wziąć 3 wektory 4 wymiarowe i analogicznie policzyć wyznacznik (rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza reprezentującego wektory jednostkowe):
|e1 e2 e3 e4|
|x1 x2 x3 x4|
|y1 y2 y3 y4|
|z1 z2 z3 z4|
Powstanie coś w stylu e1A+e2B+e3C+e4D i wynikiem iloczynu skalarnego będzie wektor [A,B,C,D]
pzdr,
y.
0
Dzięki, pomogliście mi bardzo. Co do 4 wymiarów - tylko dla nielicznych nie jest to abstrakcja nie do wyobrażenia. Ale na pewno znajdzie sie ktoś kto wykorzysta iloczyn wektorowy w większej ilości wymirów, np. jeśli iloczyn wektorowy w 3D jest polem równoległoboku rozpiętego przez mnożone wektory, to może w 4D jest objętością równoległościanu rozpiętego na 3 mnożonych wektorach ?
0
Tak właściwie to z tymi polami i objętościami jest tak:
a)długość iloczynu wektorowego 2 wektorów to pole równolegloboku napiętego na tych 2 wektorach czyli |a x b|=|a||b|sin@ gdzie @ to kąt pomiędzy nimi
przy mnożeniu wektorowym dwóch wektorów powaje wektor
przy mnożeniu skalarnym powstaje liczba a ' b = axbx+ayby
' oznacza mnożenie skalarne
b)objętość równoległościanu liczymy z iloczynu mieszanego a ' (b x c)