Granica ciągu (-1)^n

Odpowiedz Nowy wątek
2017-01-09 19:10
Uczynny Ogórek
0

W jaki sposób pokazać formalnie, że ciąg
a^n, a =< -1
nie ma limitu?
Dla |a| < 1 można znaleźć M od epsilona (z definicji limitu ciągu) i będzie to coś w stylu M(epsilon) = log o podstawie |a| z epsilona.
Dla a > 1 można pokazać M(K) = log o podstawie a z K.
Korzystając z formalnej definicji limitu ciągu, w jaki sposób pokazać, że dla a =< -1 taki ciąg nie ma limitu?
Można by pokazać, że nie ma M od epsilona (zbieżny) i M od 'K' (rozbieżny), w sensie, że szukając tych wartości pojawi się jakaś sprzeczność. Oczywiście można powiedzieć słownie, że albo oscyluje między 1 a -1 albo oddala się od 0 z każdym następnym wyrazem, a że znak oscyluje, to nie biegnie to którejś z nieskończoności. Jakie podejście tutaj zastosować?

edytowany 1x, ostatnio: bogdans, 2017-01-19 01:00

Pozostało 580 znaków

2017-01-09 20:07
1

O jaki ciąg Ci chodzi? W tytule masz a[n] = (-1)^n, w tekście się pojawia jakieś a^n i dziwny zapis =<. Czy chodziło o ≤, czyli <=? Skoro tak, to co potem robi rozpatrywanie a > 1?

W każdym razie, na podstawie ostatniego akapitu zdanie wygląda tak, że najłatwiej Ci będzie znaleźć dwa podciągi zbieżne do innych wartości, co przeczy zbieżności wyjściowego ciągu (wszystkie podciągi ciągu zbieżnego mają tę samą granicę — o właśnie, po polsku mowa o granicy, nie limicie).

Pozostało 580 znaków

2017-01-09 20:07
2

Możesz pokazać ze nie spełnia warunku Cauchego, tzn elementy ciagu nie zbliżają się do siebie -> https://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_Cauchy’ego bo akurat w R^n z metryką euklidesową każdy ciag zbieżny musi spełniać to kryterium.


Non nascuntur sed fiunt christiani :)
Nie masz kłopotów? Kup komputer...

[Na pw przyjmuje tylko zlecenia. Masz problem? Pisz na forum, nie do mnie]
Chyba że kłamie, ale to mnie @bogdans poprawi :P - Shalom 2017-01-09 20:08
Nie kłamiesz. Co więcej, w każdej przestrzeni metrycznej ciągi zbieżne muszą spełniać warunek Cauchy’ego. W drugą stronę (tzn. ciągi Cauchy’ego muszą być zbieżne) tylko w zupełnych, ale akurat ℝⁿ z euklidesową jest zupełne. - Althorion 2017-01-09 20:19
@Shalom, sprawdzam działanie powiadomień. nie dostałem powiadomienia o Twoim komentarzu. - bogdans 2017-01-19 08:46
@bogdans: tak sobie sprawdzisz, jeśli @Shalom ma obserwowanie na tym poście (a ma domyślnie, bo to jego post). Na razie zawołałeś także i mnie (mam obserwowanie domyślnie włączone, bo post skomentowałem). - Althorion 2017-01-19 08:47
@bogdans hmm dostałem teraz powiadomienie o komentarzu do postu, bo jest mój. Dodaj może komentarz pod swoim postem i tam mnie zamałpuj? - Shalom 2017-01-19 09:13
@Althorion, oznacza to, że "przywoływanie" do wątku nie działa. Nie mogłem wcześniej ustawić obserwowania, bowiem wątku nie widziałem - bogdans 2017-01-19 09:32

Pozostało 580 znaków

2017-01-19 00:59
1

Ciąg a^n jest zbieżny (w R ) dla liczb a z przedziału (-1;1]. Zakładam zatem, że chodzi o liczby a <= -1 lub a > 1. Jeżeli a = -1, to ciąg (-1)^n zawiera podciąg zbieżny do 1 (n parzyste), zawiera też podciąg zbieżny do -1 (n nieparzyste). Jak już pisał @Althorion, wynika stąd, że ciąg (-1)^n nie ma granicy. Dla pozostałych liczb a ciąg a^n jest nieograniczony => nie jest zbieżny.


To smutne, że głupcy są tak pewni siebie, a ludzie mądrzy - tak pełni wątpliwości. Bertrand Russell

Pozostało 580 znaków

Odpowiedz
Liczba odpowiedzi na stronę

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1, botów: 0