Obliczenie wsółrzędnych środka okręgu

Witam,

muszę w c/c++ obliczyć współrzędne środka okręgu (C) mając współrzędne 2 punktów(A,B), które należą na tym okręgu oraz długość promienia R. Wiem, że są dwa takie okręgi. Próbowałem to sprowadzić do problemu wyliczenia 3 wierzchołka trójkąta równoramiennego.

Punkt S jest środkiem odcinka AB. Obliczyć łatwo. Kąt ASB jest kątem prostym, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość odcinka SC.

Wzór na prostą przechodzącą przez 2 punkty można obliczyć z układu równań:
y1=x1a+b
y2=x2a+b

przekształcając ten wzór (pierwszy pomnożyłem przez minus jeden i dodałem stronami) doszedłem do tego, że
a= (y2-y1)/(x2-x1)
te 4 dane mam, więc obliczam a, następnie b. Wzór na prostą przechodzącą przez punkt A oraz B znalazłem:)
Z tego obliczę wzór na prostą prostopadłą przechodzącą przez punkt S (czyli środek odcinka AB).

I w tym momencie stanąłem. Chciałem dojść do tego, aby punkt S przesunąć o jakiś wektor, aby dojść do punktu C, ale nie mam pojęcia jak do tego dojść. Macie jakieś pomysły? Może jest prostszy sposób, aby to obliczyć?

W załączniku dodaję ilustrację pomocniczą

A nie prościej rozwiązać układ dwóch równań? Piszesz równania okręgów o promieniu R i środku A lub B.
(x-A_x)² + (y-A_y)² = R²

no tak, ale nie wiem jak takie układy równań rozwiązywać w c/c++ to kombinowałem trochę inaczej

Równań nie rozwiązuje się w języku programowania, tylko na kartce ;). Odejmij równania stronami, dostaniesz związek liniowy między x i y, wyznacz y, wstaw do jednego z równań i dostaniesz równanie kwadratowe.

nie za bardzo rozumiem

Chodzi chyba o doprowadzenie jednego z równań do postaci y=[cośtam]x, i podstawieniu [cośtam]x zamiast y do drugiego równania. Wtedy będziesz miał jedno równanie z jedną niewiadomą.

to to wiem, ale jak to zrobić?

Jeśli nawet nie chcesz samemu liczyć, w google jest pełno gotowych algorytmów (https://www.google.pl/search?q=punkty+przecięcia+okręgów+algorytm), jest o tym w Algorytmice Praktycznej Stańczyka, itd, itd.

@sig, o to właśnie chodzi.
(x-A_x)² + (y-A_y)² = R²
po podniesieniu do kwadratu:
x² - A_x*x + x² + y² - A_y*y + y² = R²
x² - B_x*x + x² + y² - B_yy + y² = R²
x² - 2A_xx + A_x² + y² - 2A_yy + A_y² = R²
x² - 2B_xx + B_x² + y² - 2B_yy + B_y² = R²
po odjęciu stronami:
- 2A_xx - 2A_yy + 2B_xx + 2B_y*y = 0</del>

• 2*A_xx - 2A_yy + A_x² + A_y² + 2B_xx + 2B_y*y - B_x² - B_y² = 0
  wyznaczasz y z tego równania i wstawiasz do jednego z równań kwadratowych.

wektor od S do A
V = SA

odległość punku S od środka okręgu
k=sqrt(R^2-V^2) (z pitagorasa k^2+V^2=R^2)

uwaga! R^{2 musi być większe lub równe V}2 inaczej brak rozwiązania

obracamy wektor V o 90 stopni
W = (Vy, -Vx)

możliwe środki okręgu
O1 = S + k * W/|W|
O2 = S - k * W/|W|

można rozwinąć, za |W| podstawić sqrt(V^2), trochę się uprości
O1 = S + k * W / |W| = S + sqrt(R^2-V^2) * W / sqrt(V^2)

O1 = S + sqrt(R^2 / V^2 - 1) * W
O2 = S - sqrt(R^2 / V^2 - 1) * W

(R^{2 / V}2 - 1) musi wyjść większe lub równe 0, inaczej brak rozwiązania

jakby dla potomnych kogoś interesowało rozwiązanie:

void calculate(double x1, double y1, double x2, double y2, double r, double *p1, double *r1, double *p2, double *r2)
{
    double x_s, y_s;
    x_s = (x1+x2)/2;
    y_s = (y1+y2)/2;

    double a, b;
    a = (y1-y2)/(x1-x2);
    b = y1 - a * x1;

    double a1, b1;
    a1 = -1/a;
    b1 = y_s - a1*x_s;

    double aa, bb, cc;
    aa = 1+ a1*a1;
    bb = -(2*x1 + 2*a1*(y1-b1));
    cc = x1*x1 + (y1-b1)*(y1-b1) - r*r;

    double delta;
    delta = bb*bb - 4 * aa * cc;

    *p1 = ((-bb) + sqrt(delta))/ (2*aa);
    *p2 = ((-bb) - sqrt(delta))/ (2*aa);

    *r1 = a1 * *p1 + b1;
    *r2 = a1 * *p2 + b1;
}

Zadanie na poziomie matury podstawowej z matematyki, przynajmniej taką mam nadzieję. Choć patrząc na to, jak się obniża wymagania wobec licealistów, nie dziwię się, że ich umiejętności są takie, jakie są.

Dość okrężne to rozwiązanie. Idąc za radą której udzieliłem wcześniej można dojść do takiego kodu:

bool calculate(double x1, double y1, double x2, double y2, double r, double *p1, double *r1, double *p2, double *r2)
{
    double vx = (x2 - x1) / 2;
    double vy = (y2 - y1) / 2;

    double dist = sqrt((r * r) / (vx * vx + vy * vy) - 1);

    *p1 = x1 + vx + dist * vy;
    *p2 = x1 + vx - dist * vy;
    *r1 = y1 + vy - dist * vx;
    *r2 = y1 + vy + dist * vx;
}