Granica funkcji

0

Moją piętą achillesową jest rozumienie definicji matematycznych.
Po przeczytaniu artykułu na wiki nadal nie rozumiem - jak zaimplementować algorytm liczenia granicy w punkcie?

0

Na podstawie czego chcesz liczyć tę granicę? Wzoru? Wartości i argumentów funkcji? Im więcej szczegółów podasz uwzględnisz, tym prostszy algorytm będzie można ułożyć. Takim szczegółem może być chociażby to, że nigdy nie będziesz chciał obliczać granic dla funkcji kwadratowej.

0

Wyliczyłem 10 milionów wyrazów pewnego ciągu. Ostatnie wyrazy wyglądają tak:

15.6953080659
15.6953081659
15.6953082659
15.6953083659
15.6953084659
15.6953085659
15.6953086659
15.6953087659
15.6953088659
15.6953089659
15.6953090659
15.6953091659
15.6953092659
15.6953093659
15.6953094659
15.6953095659
15.6953096659
15.6953097659
15.6953098659
15.6953099659
15.6953100659
15.6953101659
15.6953102659
15.6953103659
15.6953104659
15.6953105659
15.6953106659
15.6953107659
15.6953108659
15.6953109659
15.6953110659
15.6953111659
15.6953112659
15.6953113659
15.6953114659

Jaką stawiasz hipotezę na temat granicy tego ciągu?

0
Karolaq napisał(a)

Na podstawie czego chcesz liczyć tę granicę? Wzoru? Wartości i argumentów funkcji?

Mam dany wzór funkcji oraz do jakiej wartości dąży x.

0

Chyba się nie zastanowiłeś nad przykładem. IMHO granicy nie da się wyliczyć algorytmicznie. Można spróbować jakiejś formy AI, tzn. przekształcać symbolicznie wzór aż przybierze postać dla której granica jest znana.
Dla większości funkcji i większości punktów granica jest równa wartości funkcji w badanym punkcie \lim\limits_{x \rightarrow 2} x<sup>2 = 2</sup>2 = 4.
W wielu przypadkach policzenie granicy polega na takim przekształceniu wzoru, żeby można było wstawić badany punkt.
\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x<sup>2 - 1}{x</sup>2 +x -2}, 1 nie można wstawić do wzoru, ale po podzieleniu licznika i mianownika przez (x-1) dostaniemy \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{x+2} = \frac{2}{3}

0

Ciąg, którego fragment zamieściłem wcześniej ma granicę \infty. Odgadnięcie tego na podstawie obliczeń (pierwszego miliarda (biliona) wyrazów ciągu) jest IMHO niemożliwe.

0

Akurat w przypadku tego ciągu może by i było możliwe, bo różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami wygląda na stałą...

0

Tak z d**y pytanie: poleci ktoś jakieś łopatologiczne opracowania do analizy? Mam w piątek kolosa, a granicy funkcji wyznaczać nie potrafię, nie mówiąc o ciągłości czy pochodnych.

0

M.Gewert, Zb. Skoczylas Analiza matematyczna 1 Przykłady i zadania.

0

@some111, przyznaję przykład był kiepski. Znalazłem lepszy, ciąg (xn) jest określony rekurencyjnie: x1 = 0, xn+1 = xn2 + 0.250000000001
Fragmenty obliczeń:
i = 1 i-ty wyraz = 0.250000000001
i = 2 i-ty wyraz = 0.312500000001
i = 3 i-ty wyraz = 0.347656250002
i = 4 i-ty wyraz = 0.370864868166
i = 5 i-ty wyraz = 0.387540750441
i = 6 i-ty wyraz = 0.400187833253
i = 7 i-ty wyraz = 0.410150301885
i = 8 i-ty wyraz = 0.418223270137
.................
i = 499992 i-ty wyraz = 0.499998169539
i = 499993 i-ty wyraz = 0.499998169543
i = 499994 i-ty wyraz = 0.499998169548
i = 499995 i-ty wyraz = 0.499998169552
i = 499996 i-ty wyraz = 0.499998169556
i = 499997 i-ty wyraz = 0.499998169561
i = 499998 i-ty wyraz = 0.499998169565
i = 499999 i-ty wyraz = 0.499998169569
i = 500000 i-ty wyraz = 0.499998169574
i = 500001 i-ty wyraz = 0.499998169578
i = 500002 i-ty wyraz = 0.499998169582
..................
i = 999992 i-ty wyraz = 0.49999935791
i = 999993 i-ty wyraz = 0.499999357911
i = 999994 i-ty wyraz = 0.499999357913
i = 999995 i-ty wyraz = 0.499999357914
i = 999996 i-ty wyraz = 0.499999357916
i = 999997 i-ty wyraz = 0.499999357917
i = 999998 i-ty wyraz = 0.499999357918
i = 999999 i-ty wyraz = 0.49999935792
i = 1000000 i-ty wyraz = 0.499999357921
Jaką ten ciąg ma granicę?

0

0.5?

0

@mwili, zimno.

0

dobra

  • do nie skonczonosci

dla i = 3141623 wartosc wynosci 1.03914548082478
a juz dla i = 3141629 x = 129066.252630388

//zmylilo mnie to ze x1000000 - x999992 = 1.09999787056836e-011
a x500002 - x499994 = 3.39999695064819e-011.
szybko wywnioskowalem ze przyrost maleje do 0 , a tu taka niespodzianka

0

@mwili, zdefiniowane rekurencyjnie ciągi x_0 = 0 x_{n+1} = {x_n}^2 + c c>0.25 doskonale uzasadniają dlaczego granic nie należy badać numerycznie. Można prosto udowodnić, że każdy taki ciąg jest rosnący i zbieżny do nieskończoności. Jeżeli c jest tylko "trochę" większy niż 0.25, to w okolicy 0.5 ciąg prawie się nie zmienia i łatwo postawić hipotezę, że granicą jest właśnie 0.5. W poniższym ciągu c=0.250000000000001
i = 9999989 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999990 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999991 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999992 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999993 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999994 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999995 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999996 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999997 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999998 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 9999999 i-ty wyraz = 0.499999903353
i = 10000000 i-ty wyraz = 0.499999903353

0

nie ma co tu w ogóle dyskutować. Nie da się określić granicy funkcji na podstawie kilku punktów i tyle.
Może powiedz nam, co zamierzasz zrobić. Możliwe, że twój problem da się rozwiązać inaczej. Na podstawie formuły matematycznej będzie bardzo ciężko.

0

@up: e tam przesadzasz.

  1. policzyć wartość w punkcie. Jeśli wszystko pójdzie ok (nie ma dzielenia przez zero itp) to masz wynik.
  2. policzyć a[i]=f(x[i]+x0), gdzie x[i] = b/i ablo x[i]=exp(-beta * i) dla dużych i (względnie dla małych betta lub b).
  3. Dopasować prostą do punktów (x[i],a[i]) (10 punktów wystarczy) i wybrać takie x[i] dla którego współczynnik korelacji będzie najlepszy.
  4. Współczynnik przesunięcia najlepiej dopasowanej prostej jest granicą funkcji.
0

@MarekR22, e tam głupoty pleciesz. Może wyjdzie granica, a może nie.
f(x) = sin ( \frac{\pi}{x}) x_0 = 0, wstawić się nie da, zatem liczymy wartości funkcji w punktach: a_1 = 0.00001,...,a_{10} = 0.00010, nanosimy punkty na wykres i radośnie stwierdzamy, że granica wynosi 0.

0

a jak zrobisz dla 10 punktów i policzysz dla nich korelację, to wyjdzie ci bliska zeru i już wiesz, że coś jest nie tak.
Ok dałeś przykład, w który dopasowuje się do funkcji 1/x, ale jak zrobisz to dla 2 różnych wartości b, albo dla eksponenty to już masz dzwonek alarmowy, że coś się nie zgadza.

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1