Ja myślę że tu trzeba spojrzeć na problem nieco szerzej niż myślisz, na przykład logowanie do serwisu jest przez https:// czyli przy użyciu SSL'a (musisz sprawdzić czy TIdhttp obsługuje tego typu połączenia)
po drugie myślę że logowanie jest oparte na metodzie "POST" a nie jak sugerujesz "GET", by to sprawdzić zalecam przegląd kodu HTML interesującej cię strony w poszukiwaniu sekcji <form> </form> odpowiedzialnej za logowanie.
Ponadto przy logowaniu mogą być także ważne ciasteczka(nie jest to regułą więc napisałem 'mogą').
Jeżeli chodzi o aspekty związane z implementacją, to ja osobiście polecam bibliotekę WinInet, to zestaw podstawowych funkcji i procedur z którymi, bez problemu powinieneś napisać działający kod.
Jeżeli nie lubisz lubisz programowania strukturalnego lub WinApi to niestety musisz poszukać innego narzędzia :)