ułamki łańcuchowe - jednorodne

Nie mogę pozowlić, żeby takie rzeczy wisiały na forum i gorszyły, bez komentarza:)

lion137 napisał(a):

O jakim phi mówimy? Chyba nie (1 + sqrt(5)) / 2?

z całego tego tematu widać że chodzi tylko o te ułamkowe części liczb, zatem: phi = 0.618... = Phi - 1;

ponieważ:
[1,1,1,1, ...] = phi = (sqrt(5) - 1) / 2;
analogicznie: [2,2,2, ...] = sqrt2 - 1, czyli to jest część ułamkowa z sqrt2.

Podobnie można mówić o ułamku z Pi: Pi-3.
Te części całkowite są tu nieistotne - mogą być dowolne, np.: [22; 1,1,1, ...] = 22 + phi = 22.618...

enedil napisał(a):

Natomiast, grając tutaj adwokata diabła, masz całkowitą rację w kwestii: wiemy że wartością pewnego ułamka łańcuchowego jest dokładnie e, którego tak samo nie da się wyznaczyć dokładnie jak każdej innej liczby rzeczywistej.

Ależ my znamy wartość e, podobnie jak: pi, phi, itd.!

Natomiast takiej liczby nie znamy: [1,2,3,4, ...],
dlatego mnie interesuje... co to jest.

Kolejna liczba do wyliczenia:
już wiemy że seria nieparzysta: [1,3,5,7, ...] = tanh(1),
zatem należy sprawdzić co reprezentuje dopełniająca - parzysta seria:

[2,4,6,8, ...] = ?

Ależ my znamy wartość e, podobnie jak: pi, phi, itd.!

Opierasz się na błędnej przesłance; nie znamy i nie poznamy nigdy wartości e czy pi, ponieważ są one liczbami przestępnymi.

To, że zostały jakoś nazwane, nie oznacza wcale, że znamy ich dokładne wartości - znaczy to tylko tyle, że były na tyle często wykorzystywane, że wygodnie było przydzielić im własny symbol ;-)

Równie dobrze mógłbym napisać, że [1, 2, 3, ...] = u i to miałoby dokładnie takie samo znaczenie jak definicja liczby e.

Patryk27 napisał(a):

Ależ my znamy wartość e, podobnie jak: pi, phi, itd.!

Nie znamy i nie poznamy - e czy pi są liczbami przestępnymi.
To, że zostały jakoś nazwane, nie oznacza wcale, że znamy ich dokładne wartości.

Znamy te liczby doskonale, ponieważ znamy ich znaczenie w teorii, jak i w praktyce.
2pi to obwód koła o promieniu 1, plus kilka innych zależności - rozkład gaussa, itp.

Natomiast e to liczba z rozkładu wykładniczego, czyli też bardzo praktyczna rzecz - rozpraszanie, i tego typu sprawy:
y' = y => y = e^-x;
pochodna z e^x = e^x, itd.

Z kolein phi jest dobrze znane z tzw. golden ratio, jak i z generalnej teorii o rezonansach, harmonizacji... ze słonecznika i, ślimaków,
no i w ogóle jest to najpospolitsza liczba z liczb w naturze, albo nawet tak: to jest ta super liczba zakazana w średniowieczu - pentagramy, itp. farmazony kościelne.

Mógłbym napisać, że [1, 2, 3, ...] = u i to miałoby dokładnie takie samo znaczenie jak definicja liczby e.

Ależ skąd. Akurat e wyróżnia się istotnie,
i my wiemy o tym doskonale!
dlatego też e ma tak ogromne znaczenie w matematyce, fizyce, a nawet i w ekonomii.

exp7 napisał(a):

enedil napisał(a):

Natomiast, grając tutaj adwokata diabła, masz całkowitą rację w kwestii: wiemy że wartością pewnego ułamka łańcuchowego jest dokładnie e, którego tak samo nie da się wyznaczyć dokładnie jak każdej innej liczby rzeczywistej.

Ależ my znamy wartość e, podobnie jak: pi, phi, itd.!

Natomiast takiej liczby nie znamy: [1,2,3,4, ...],
dlatego mnie interesuje... co to jest.

Kolejna liczba do wyliczenia:
już wiemy że seria nieparzysta: [1,3,5,7, ...] = tanh(1),
zatem należy sprawdzić co reprezentuje dopełniająca - parzysta seria:

[2,4,6,8, ...] = ?

Co to znaczy, że znamy wartość e, cz Pi, w takim sensie, że możemy ją zapisać w jakiejś notacji, np. dziesiętnej, to jej nie znamy, ale znamy ją w tym sensie, że wiemy jakich ciągów zstępujących jest to granica (każda liczba rzeczywista to z definicji granica).
Natomiast, rzeczywiście, nie wiemy, jakich ciągów granicą jest ułamek łańcuchowy [1, 2, 3, 4, ...], i cóż, musimy z tym żyć:).
" już wiemy że seria nieparzysta: [1,3,5,7, ...] = tanh(1)" Już pisałem, że to nie jest tanh(1).
tanh(1) to : [0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 3, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 4, 19, 1, 2, ...], Możesz sprawdzić funkcją inf_cf z mojego notebooka.
Ciekawostką tutaj jest to, że e, jako liczb przestępna jest inne od Pi, które ma losowe rozwinięcie w ułamek łańcuchowy.
Rozwinięcie e jest regularne, zachęcam do zakodowania tego:
https://projecteuler.net/problem=65

lion137 napisał(a):

exp7 napisał(a):

enedil napisał(a):

Natomiast, grając tutaj adwokata diabła, masz całkowitą rację w kwestii: wiemy że wartością pewnego ułamka łańcuchowego jest dokładnie e, którego tak samo nie da się wyznaczyć dokładnie jak każdej innej liczby rzeczywistej.

Ależ my znamy wartość e, podobnie jak: pi, phi, itd.!

Natomiast takiej liczby nie znamy: [1,2,3,4, ...],
dlatego mnie interesuje... co to jest.

Kolejna liczba do wyliczenia:
już wiemy że seria nieparzysta: [1,3,5,7, ...] = tanh(1),
zatem należy sprawdzić co reprezentuje dopełniająca - parzysta seria:

[2,4,6,8, ...] = ?

Co to znaczy, że znamy wartość e, cz Pi, w takim sensie, że możemy ją zapisać w jakiejś notacji, np. dziesiętnej, to jej nie znamy, ale znamy ją w tym sensie, że wiemy jakich ciągów zstępujących jest to granica (każda liczba rzeczywista to z definicji granica).
Natomiast, rzeczywiście, nie wiemy, jakich ciągów granicą jest ułamek łańcuchowy [1, 2, 3, 4, ...], i cóż, musimy z tym żyć:).

A to niby dlaczego nie znamy - bo nie potrafisz tego wyliczyć? :)
Zatem wylicz to, zamiast pajacować, a wtedy może zobaczymy co to jest...

" już wiemy że seria nieparzysta: [1,3,5,7, ...] = tanh(1)" Już pisałem, że to nie jest tanh(1).
tanh(1) to : [0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 3, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 4, 19, 1, 2, ...], Możesz sprawdzić funkcją inf_cf z mojego notebooka.
Ciekawostką tutaj jest to, że e, jako liczb przestępna jest inne od Pi, które ma losowe rozwinięcie w ułamek łańcuchowy.
Rozwinięcie e jest regularne, zachęcam do zakodowania tego:
https://projecteuler.net/problem=65

Pi akurat też ma swoją regularną reprezentację, i w zasadzie odwrotną do tego 1,2,3,4, ... bo pi można zapisać tak:

pi = 2 + 2*[1, 1/2, 1/3, 1/4, ...]; hahaha!

Zatem wylicz to, zamiast pajacować, a wtedy może zobaczymy co to jest...

To Ty twierdzisz, że znamy dokładną wartość e czy pi, więc to na Tobie spoczywa ciężar dowodu póki co :-)

Co może być trochę ciężkie biorąc pod uwagę, że już w XIX zostało udowodnione coś zupełnie przeciwnego (ponownie: https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_przest%C4%99pna).

"A to niby dlaczego nie znamy - bo nie potrafisz tego wyliczyć? :)
Zatem wylicz to, zamiast pajacować, a wtedy może zobaczymy co to jest..." Please...

"pi = 2 + 2*[1, 1/2, 1/3, 1/4, ...]" Daj źródło tego, bo ani na wolframie ani wikipedii nie ma. Owszem są regularne rozwinięcia Pi, ale to nie są już proste ułamki łańcuchowe.

Patryk27 napisał(a):

Zatem wylicz to, zamiast pajacować, a wtedy może zobaczymy co to jest...

To Ty twierdzisz, że znamy dokładną wartość e czy pi, więc to na Tobie spoczywa ciężar dowodu póki co :-)

Dawno to udowodniono na setki sposobów.

Znajomość czegoś znaczy tyle samo, co znajomość sensu tego = znaczenia, roli.

I dokładnie na takiej samej zasadzie wiesz - rozumiesz, co to jest 1, czy też 0 -> nic więcej!

Twierdzisz że znasz wartość 1?
No to dawaj, zasuwaj, obliczaj, definiuj: 1 = ? :)

https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms :-)

Albo: https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers :)

lion137 napisał(a):

"pi = 2 + 2*[1, 1/2, 1/3, 1/4, ...]" Daj źródło tego, bo ani na wolframie ani wikipedii nie ma. Owszem są regularne rozwinięcia Pi, ale to nie są już proste ułamki łańcuchowe.

Przecież sam możesz sobie to obliczyć:

@exp7: ależ zgodziłem się w tej kwestii z Tobą, jeżeli nie wiemy co to znaczy 1, także nie wiemy co to znaczy e - czyli chyba to o co Tobie w tym chodziło. Mógłbyś uważniej czytać?

exp7 napisał(a):

lion137 napisał(a):

"pi = 2 + 2*[1, 1/2, 1/3, 1/4, ...]" Daj źródło tego, bo ani na wolframie ani wikipedii nie ma. Owszem są regularne rozwinięcia Pi, ale to nie są już proste ułamki łańcuchowe.

Przecież sam możesz sobie to obliczyć:

No, nie wychodzi mi z tego, Pi, w ogóle wygląda, że to rozbieżne jest, Pokaż Twój kod jak to Obliczyłeś.

lion137 napisał(a):

exp7 napisał(a):

lion137 napisał(a):

"pi = 2 + 2*[1, 1/2, 1/3, 1/4, ...]" Daj źródło tego, bo ani na wolframie ani wikipedii nie ma. Owszem są regularne rozwinięcia Pi, ale to nie są już proste ułamki łańcuchowe.

Przecież sam możesz sobie to obliczyć:

No, nie wychodzi mi z tego, Pi, w ogóle wygląda, że to rozbieżne jest, Pokaż Twój kod jak to Obliczyłeś.

Musisz pamiętać że te ułamki łańcuchowe są szybko zbieżne gdy te liczby rosną, więc i odwrotnie - gdy maleją wtedy jest do d**y.

Zatem w przypadku:
phi = [1,1,1, ...] jest to tak średnio zbieżne - chyba liniowo: 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, ... -> phi

natomiast taki: [1, 2, 4, 8, 16, 32, ...] będzie strasznie szybko zbieżny... bo tu kolejne liczby są coraz większe - rakieta!

i odwrotnie:
[1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...] będzie strasznie słabo zbieżny - coś jak log pewnie, czyli potrzeba tysięcy składników aby otrzymać wynik dla kilku poprawnych cyfr zaledwie!

Hm... Okay, w takim razie, Masz gdzieś jakiś paper o ytm szeregu?

lion137 napisał(a):

Hm... Okay, w takim razie, Masz gdzieś jakiś paper o ytm szeregu?

W sumie to i tak dość szybko idzie:
[1; 1,1/2,1/3,1/4] = 1.580
a teraz kolejny:
[1; 1,1/2,1/3,1/4, 1/5] = 1.5644

i już jest całkiem blisko: pi/2 = 1.570796...

suma tych dwóch: 1.58 + 1.5644 = 3.1444, co jest dokładne do 3 cyfr - 1 promil błędu tylko; pi =~ 3.1416

https://books.google.pl/books?id=Ot7EDgAAQBAJ&pg=PA58&lpg=PA58&dq=pi+continued+fraction+harmonic&source=bl&ots=vnQate_aCy&sig=n0f8KgfUgF_RdtIaJHxUa_yqKps&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjEvtTG0KHeAhUCkSwKHT_NDoU4ChDoATAIegQIBhAB#v=onepage&q=pi%20continued%20fraction%20harmonic&f=false

Nie otwiera mi tego, przynajmniej na telefonie.

lion137 napisał(a):

Nie otwiera mi tego, przynajmniej na telefonie.
może tak:
https://books.google.pl/books?id=Ot7EDgAAQBAJ&pg=PA58

exp7 napisał(a):

lion137 napisał(a):

Hm... Okay, w takim razie, Masz gdzieś jakiś paper o ytm szeregu?

W sumie to i tak dość szybko idzie:
[1; 1,1/2,1/3,1/4] = 1.580
a teraz kolejny:
[1; 1,1/2,1/3,1/4, 1/5] = 1.5644

i już jest całkiem blisko: pi/2 = 1.570796...

suma tych dwóch: 1.58 + 1.5644 = 3.1444, co jest dokładne do 3 cyfr - 1 promil błędu tylko; pi =~ 3.1416

Dziwne, u mnie wygladalo rozbieznie. Musze sprawdzic funkcje.

Bo ja tu troszkę zmodyfikowałem procedurę wyliczania tych ułamków, i dlatego jest lepiej. :)

Standardowa metoda wyliczania tych ułamków zaokrągla w górę, co jest dobre, ale tylko dla cyfr >= 1.
A w tym przypadku kolejne cyfry są coraz mniejsze: 1/n, więc trzeba to zaokrąglać w dół - do zera: 1/n -> 0!

exp7 napisał(a):

Bo ja tu troszkę zmodyfikowałem procedurę wyliczania tych ułamków, i dlatego jest lepiej. :)

Standardowa metoda wyliczania tych ułamków zaokrągla w górę, co jest dobre, ale tylko dla cyfr >= 1.
A w tym przypadku kolejne cyfry są coraz mniejsze: 1/n, więc trzeba to zaokrąglać w dół - do zera: 1/n -> 0!

Yhm, popatrze pozniej.

spróbuj najpierw wyliczyć takie coś:

[0,0,0,0,...] = ?
serio! hihi!