(chyba) ciekawy problem optymalizacyjny

0

Hej,
w jednym sąsiednich wątków pojawiło się zadanie optymalizacyjne, może kogoś zainteresuje, nie tylko @exp4. Trzy boki czworokąta wypukłego mają długość 1. Jaka powinna być długość czwartego boku czworokąta i jak powinien być ukształtowany, aby miał maksymalne pole. W sumie to nie wiem jakie jest rozwiązanie, na razie namierzyłem wzór Brahmagupty (analogon wzoru Herona na pole trójkąta).

2

Nie wydaje się jakoś specjalnie skomplikowany.
Wykorzystując wzór Brahmagupty i przyjmując a=b=c=1, d=x mamy:

p = 1.5+0.5x
p-a = p-b = p-c = 0.5 + 0.5x
p-d = 1.5 - 0.5x

mamy maksymalizować de facto to, co jest pod pierwiastkiem, czyli

f(x) = (0.5 + 0.5x)^3 (1.5-0.5x), dla x(0,3).

Ja, dla uproszczenia, wyłączyłem sobie jeszcze 0.5 ze wszystkiego, czyli powiedzmy, że zajmowałem się funkcją

g(x) = (1+x)^3 (3-x)

Teraz pochodna (z wzoru na iloczyn, żeby było łatwiej później).

g'(x) = 3(1+x) ^2 * (3-x) + (-1) * (1+x)^3

Wyłączamy (1+x)^2 przed nawias

g'(x) = (1+x)^2 * [3(3 - x) - (1+x)] 
g'(x) = (x+1)^2 * (-4x + 8)
g'(x) = -4 (x+1)^2 * (x-2)

dla x = 2 pochodna się zeruje i zmienia znak z + na -, więc jest max lokalne.

0

no to podnieśmy ciut poprzeczkę :) jak to zrobić bez pochodnej :) nie wiem czy się da :)

1

Podnieśmy poprzeczkę wyżej i zróbmy to bez liczb i symboli.

0

Podane rozwiązanie używa wzoru Brahmagupty dla czworokąta wpisanego w okrąg. W ogólnym przypadku dochodzi nam jeszcze jeden stopień swobody -- ukształtowanie. Jest to zresztą wspomniane w treści

i jak powinien być ukształtowany

Na wiki jest również ogólna wersja wzoru z użyciem średniej przeciwległych kątów. Można podnieść poprzeczkę i spróbować z nim ;)

0
maciekniewielki napisał(a):

Na wiki jest również ogólna wersja wzoru z użyciem średniej przeciwległych kątów. Można podnieść poprzeczkę i spróbować z nim ;)

A nie wystarczy uzasadnienie, że dla otrzymanej długości x=2 część wzoru z kątami jest równa 0 (i jest to minimum tej części) , więc to jest max pole?

1
Skromny Kura napisał(a):

A nie wystarczy uzasadnienie, że dla otrzymanej długości x=2 część wzoru z kątami jest równa 0 (i jest to minimum tej części) , więc to jest max pole?

Rzeczywiście, dodanie do tego wersji z kątami dużo nie utrudnia, ale możesz rozwinąć dlaczego warunek x=2 jest wystarczający? Możemy przecież (chyba) ułożyć te boki tak, żeby wyszedł nam w miarę płaski czworokąt, który nie ma maksymalnego pola.

Jeśli chodzi o część wzoru z kątami, to jest równa 0 dla sumy przeciwległych kątów równej 180 stopni. Dobrze się składa, bo jest to dokładnie warunek "wpisywalności" w okrąg. To daje nam możliwość użycia prostszego wzoru. Więc do Twojej odpowiedzi dodałbym jeszcze notkę, że oprócz x=2, czworokąt musi się jeszcze dać wpisać w okrąg.

0
maciekniewielki napisał(a):

Rzeczywiście, dodanie do tego wersji z kątami dużo nie utrudnia, ale możesz rozwinąć dlaczego warunek x=2 jest wystarczający? Możemy przecież (chyba) ułożyć te boki tak, żeby wyszedł nam w miarę płaski czworokąt, który nie ma maksymalnego pola.

We wzorze mamy (upraszczając) A - B (B to ten warunek z kątem).
Wiemy, że wartości w A wpływają na wartości w B.
Gdybym mógł zmniejszyć A o ciut, a B zmniejszyłoby się o więcej, niż ciut, to różnica by się zwiększyła.
Powiedzmy mam A = 1000, B = 300 (A-B = 700).
Gdyby było możliwe, że A = 999, a B = 100 (A-B = 899), to różnica by się zwiększyła, deal jest opłacalny.

Psikus polega na tym, że w naszym przypadku wychodząc od maksymalnego 'A' i zmniejszając je, nie będziemy zmniejszali B. Bo na starcie takiego zmniejszania o ciut wychodzimy od B=0.
Na starcie mamy MAX - 0 = MAX.
Przejdziemy na (MAX - ciut) - (0 + ciut2) = MAX - ciut - ciut2, czyli mniej, czyli zło. A nam chodzi m jak największą wartość.

Uzasadnienia wymaga tylko to, dlaczego dla maksymalnego A B jest równe zero.
Maksymalne A (obliczenia z wcześniejszego postu) jest dla boków 1, 1, 1, 2.
A to jest trapez równoramienny.
W trapezie suma kątów przeciwległych = 180.
Czyli cos(180/2) = 0, czyli całe 'B' = 0.

0
hurgadion napisał(a):

Hej,
w jednym sąsiednich wątków pojawiło się zadanie optymalizacyjne, może kogoś zainteresuje, nie tylko @exp4. Trzy boki czworokąta wypukłego mają długość 1. Jaka powinna być długość czwartego boku czworokąta i jak powinien być ukształtowany, aby miał maksymalne pole. W sumie to nie wiem jakie jest rozwiązanie, na razie namierzyłem wzór Brahmagupty (analogon wzoru Herona na pole trójkąta).

takie coś byłoby tu pomocne:
https://en.wikipedia.org/wiki/Varignon%27s_theorem

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1