Mam kartezjański układ współrzędnych i dwa okręgi o znanych promieniach oraz znanych środkach. Umiem wyznaczyć punkty przecięcia jeżeli takie istnieją. W jaki sposób mogę wyznaczyć najbliższy punkt między okręgami w przypadku gdy okręgi się nie przecinają? Są dwa takie przypadki:
a) jeden okrąg jest na zewnątrz drugiego
b) jeden okrąg jest wewnątrz drugiego
Umiem wyznaczyć punkt pomiędzy środkami okręgów(wzór na punkt środkowy odcinka) a także odległość między okręgami (odległość między środkami minus promień pierwszego okręgu, minus promień drugiego okręgu) . Jednak w jaki sposób mogę wyznaczyć punkt pomiędzy nimi?
Wydaje mi się że jedną metodą może być poprowadzenie prostej przez oba środki okręgów a następnie obliczenie 4 punktów przecięcia prostej z okręgami. Następnie znalezienie minimalnej odległości między czterema punktami znajdując punkty najbliższe sobie. Na koniec obliczenie punktu środkowego odcinka łączącego te dwa punkty. Czy istnieje jakiś lepszy sposób?
Liczyłbym wektorami.
Opiszę 1 przypadek, drugi rozpatrz sam (niech będzie przypadek, gdzie okręgi są na zewnątrz siebie).
Załóżmy, że:
okrąg O1 ma środek w P(x1,y1) i promień a
okrąg O2 ma środek w Q(x2, y2) i promień b.
Szukany punkt to X (x3, y3).
Jak sam zauważyłeś, szukany punkt leży na odcinku PQ.
Teraz tak. Wektor PQ to [x2-x1, y2-y1], wektor PX to [x3-x1, y3-y1].
Wektory te są równoległe, więc musimy określić, jaki jest stosunek ich długości.
Długość wektora |PQ| = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = m
Długość wektora |PX| = (|PQ| - a - b) /2 + a = n
Więc
PX = n/m * PQ
dostajesz równania:
x3-x1 = n/m (x2-x1)
y3-y1 = n/m (y2-y1)
x3 = n/m (x2-x1) + x1
y3 = n/m (y2-y1) + y1
Wektor między środkami, znormalizowany do długości promienia pozwala na określenie współrzędnych punktów na okręgu - dodanie wektora do wsp. środka okręgu.
Potem już tylko trzeba policzyć współrzędne punktu pomiędzy punktami na okręgu. Można nawet w podobny sposób. Wektor pomnożyć przez 0.5 i dodać do punktu startowego tego wektora.
Możliwe, że z mojego toku wynikną powyższe wzory... Chociaż tak jakoś słownie to brzmi prościej ;)