Rzutowanie perspektywiczne - przekształcenie wierzchołka 3D w punkt 2D

Mam statyczny, trójwymiarowy, lewoskrętny układ współrzędnych z osiami ustawionymi pod kątami (w "płaskim" ujęciu, tj. na dwuwymiarowej płaszczyźnie):

X = 0 stopni | Y = 90 stopni | Z = 45 stopni

Wrzuciłem sobie w ten układ zestaw wierzchołków, połączyłem je liniami i stworzyłem sześcian, który - po rzutowaniu go z 3D do 2D - wygląda tak:

Nie przypomina sześcianu, bo moje rzutowanie nie uwzględnia perspektywy (tj. konwertuje wierzchołek 3D na punkt 2D zachowując wszystkie wymiary 1:1, coś jak aksonometria).

Powiedźmy, że wierzchołek ma współrzędne X = 100, Y = 200, Z = 300. Biorę sobie po kolei każdą oś i traktując ją jako po prostu odcinek w dwuwymiarowym układzie współrzędnych (a więc dwa punkty 2D wyznaczają jej oba końce), obliczam wektor jednostkowy dla każdej z osi i wyznaczam współrzędne punktu 2D wedle wzoru:

X punktu = X początku układu współrzędnych + (100 * wektor jednostkowy X dla osi X)
Y punktu = Y początku układu współrzędnych + (100 * wektor jednostkowy Y dla osi X)

X punktu = X punktu + (200 * wektor jednostkowy X dla osi Y)
Y punktu = Y punktu + (200 * wektor jednostkowy Y dla osi Y)

X punktu = X punktu + (300 * wektor jednostkowy X dla osi Z)
Y punktu = Y punktu + (300 * wektor jednostkowy Y dla osi Z)

Dzięki temu wykonuję "ruch" na wszystkich trzech osiach i ustalam pozycję punktu 2D na ekranie, względem układu współrzędnych. W rzucie izometrycznym (gdzie nie ma skróceń na osiach) działa to dobrze, ale chcę uwzględnić również i perspektywę. Pogrzebałem w internecie, znalazłem kilka źródeł i wszystkie podają ten sam wzór przekształceń z wierzchołka 3D na punkt 2D z uwzględnieniem perspektywy:

X punktu = X wierzchołka * (Odległość od kamery / (Z wierzchołka + Odległość od kamery))
Y punktu = Y wierzchołka * (Odległość od kamery / (Z wierzchołka + Odległość od kamery))

Sam wzór wydaje się OK, tylko jednego nie mogę zrozumieć. Jak mam "osadzić" wynik tej operacji na ekranie, skoro nie uwzględnia ona lokalizacji układu współrzędnych i tym samym nie daje mi żadnego punktu odniesienia? Przecież ten sam wierzchołek i o tych samych współrzędnych może po przekonwertowaniu na 2D znajdować się gdziekolwiek, w zależności od położenia układu współrzędnych.

Crow napisał(a):

X punktu = X wierzchołka * (Odległość od kamery / (Z wierzchołka + Odległość od kamery))
Y punktu = Y wierzchołka * (Odległość od kamery / (Z wierzchołka + Odległość od kamery))

Sam wzór wydaje się OK, tylko jednego nie mogę zrozumieć. Jak mam "osadzić" wynik tej operacji na ekranie, skoro nie uwzględnia ona lokalizacji układu współrzędnych i tym samym nie daje mi żadnego punktu odniesienia? Przecież ten sam wierzchołek i o tych samych współrzędnych może po przekonwertowaniu na 2D znajdować się gdziekolwiek, w zależności od położenia układu współrzędnych.

Tu masz przecież właśnie niejawnie podany układ odniesienia. A jest ona taki, że jest zgodny z Twoją płaszczyzną XY w przestrzeni. A jak chcesz inny, to po konwersji możesz swoje X punktu oraz Y punktu dowolnie obrócić/przesunąć/przeskalować zgodnie z prawidłami grafiki/geometrii 2D...

PS. W ogóle, czemu nie zrobisz eksperymentu (na kartce albo na komputerze), żeby zobaczyć, co Ci wyjdzie...?

Nie no próbowałem, wyszło mi coś takiego:

Tylko że nadal nie widzę tutaj żadnej kontroli nad układem współrzędnych (który w tej konwersji w ogóle nie bierze udziału). Załóżmy że chciałbym np. obrócić cały układ współrzędnych. Poruszam osiami X, Y i Z, a zbiór punktów tworzących obiekt pozostaje względem tego układu niezmienny. To bardzo wygodne, bo wystarczy obrócić jedynie 3 wierzchołki reprezentujące układ współrzędnych, a nie np. 200, z których zbudowany jest cały obiekt 3D. Tego tutaj ruszyć nie mogę. Z resztą jak widać na załączonym obrazku, sześcian został wyznaczony w prawoskrętnym układzie (ja używałem lewoskrętnego) i na to też nie mam wpływu.

Co więcej, obliczenia są tu jakieś dziwne. Żeby otrzymać taki efekt jak na obrazku, musiałem dla wierzchołków na drugim planie ustawić odległość od kamery równią 2000 (im większa odległość tym obiekt jest bliżej ekranu, bo w tym układzie kamera znajduje się w jego głębi). Mniejsza wartość powoduje jeszcze większe "wydłużenie" sześcianu niż przy moich własnych przekształceniach.

Czy ktoś byłby na tyle miły, żeby przetestować ten wzór u siebie, choćby i na kartce papieru? Według mnie czegoś w nim brakuje.

Źródło:
http://achilles.tu.kielce.pl/Members/dkaczmarski/studia-dzienne/grafika_2d_lab7.pdf/download

Witam. Wzór jest ok, spójrz na odległość od kamery. Ona jest różna w zależności od punktu więc jak byśmy nawet na obiekt patrzyli pod innym kontem to odległości też by się zmieniły i rzut byłby poprawny. Nie potrzebujemy znać żadnego konta, tylko pozycję kamery do obliczenia dystansu.

Zdjęcie pokazuje naszą sytuację. Można zauważyć, że wierzchołek rzutowany należy do trójkąta podobnego z wynikiem. Możemy więc ten wynik, którego nie znamy, łatwo obliczyć:
Xs/d=X/(Z+d)
Xs=X/1+(Z/d)
To samo dla punktu y, aby zachować perspektywę.

Xs, Ys - wynik
X, Y, Z - punkt 3D
d - odległość (ogniskowa)

Pozdrawiam.