Weźmy np. liczbę 108, suma jej cyfr to 9
108 dzieli się przez 9 bez reszty, otrzymujemy 12
cuma cyfr to 3, 12 dzieli się przez 3 otrzymujemy 4
4/4=1
Czyli szukamy liczb, które dzielą się przez sumę swoich cyfr, a powstały iloraz też ma tą właściwość.
Powtarzanie doprowadzi nas do jedynki.
Kto powie ile jest takich liczb? A może jest ich nieskończenie wiele? Jeżeli nie to kto znajdzie największą?
Nie chcę mi się myśleć, ale strzelam że nieskończoność ;)
A wymyśliłem na poczekaniu tyle:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ( ;-P ) 12, 108.
edit: chyba jednak nieskończoność. Bo wystarczy udowodnić że dla każdej liczby istnieje inna liczba która podzielona przez sumę swoich cyfr da w wyniku tą liczbę. Nie chce mi się myśleć, ale to brzmi całkiem prawdopodobnie.
1-2-18-162-2916-78732-2125764-76527504-3443737680-185961834720-10041939074880-1001392206486108480
1-3-27-243-4374-118098-11802359826
1-4-12-108-1944-52488-1417176-141598557216
1-5-45-405-7290-196830-7085880-255091680-9183300480-916759703617920
1-6-54-972-97173756
1-7-21-378-3402-61236-1102248-110152051632
1-8-72-1296-23328-839808-83912775552
1-9-81-1458-13122-354294-12754584-459165024-24794911296-2474804891365056
na szybko na razie tyle znalazlem.
x*10^a, gdzie a,x naleza do calkowitych? :> Jezeli nie wykluczamy podanych przez mnie przypadkow to oczywiscie istanieje nieskonczenie wiele takich liczb :)
mwili - liczyles w pamieci? ;P
btw - proste, ale fajne :) Daj wiecej takich zagadek :)
cyriel napisał(a)
x*10^a, gdzie a,x naleza do calkowitych? :> Jezeli nie wykluczamy podanych przez mnie przypadkow to oczywiscie istanieje nieskonczenie wiele takich liczb :)...
Na końcu musimy uzyskać jeden
cyriel napisał(a)
...btw - proste, ale fajne :) Daj wiecej takich zagadek :)
Jeszcze nie mamy rozwiązania
mwili napisał(a)
...
10041939074880-1001392206486108480
...
10041939074880 / 54 =
185961834720 / 54 =
3443737680 / 45 =
76527504 / 36 =
2125764 / 27 =
78732 / 27 =
2916 / 18 =
162 / 9 =
18 / 9 =
2 / 2 =
1 OK
ale 1001392206486108480 nie dzieli się przez 63
liczba 1 dzieli sie przez swoja sume czyli 1 ta z kolei dzieli sie przez swoja sume czyli 1. Biorac pod uwage ten przypadek to jest tych liczb nieskonczenie wiele ...
1-1-1-1-1-.... -1-.......
Czyli odpowiedz jest - nieskonczenie wiele. Co do reszty 8 przypadkow, bez dokladniejszej analizy ciezko mi powiedziec. No ale tego pierwszego przypadku nie wykluczyles ;)
Powtarzanie doprowadzi nas do jedynki.
mozna to jakos tak zapisac
a0 = 1
a1 = c , gdzie 1< c < 9
a2 = a1sum(a2), gdzie sum(a2) to suma cyfr liczby a2 i (sum(a2) | a2)
a3 = a2sum(a3), gdzie sum(a3) | a3
....
an = an-1 *sum(an), sum(an)|an
i tu trzeba udowdnic czy to idzie w nieskonczonosc lub nie. Nie wiem na razie jak ta zaleznosc matematycznie wyrazic.
Proponuję odmianę konkursu, znaleźć "liczbę Dobrowolskiego" dla której ciąg prowadzący do jedynki jest najdłuższy (lub udowodnić, że takiej liczby nie ma).