Analiza matematyczna: Definicja różniczki

Siema. Tak siedzę już od kilku godzin szukając w ciemnych zakamarkach internetu i przeglądając książki do analizy, szukając odpowiedzi na pytanie - czym właściwie jest różniczka?

Bo tak. Pochodna jest przyrostem funkcji. Granica z ilorazu dy i dx przy dx dążącym do zera. To jest jasne. Ale czym jest różniczka? Wzór znam, pochodna pomnożona przez dx. Ale czym to tak naprawdę jest?

Znalazłem interpretację geometryczną - różniczka dy wyznacza styczną do krzywej. Jest jakiś kąt alfa, pomiędzy tą styczną a osią odciętych. Co to jest? I dlaczego przy obliczaniu różniczki mnoży się dx przez pochodną?

Proszę o jakieś łopatologiczne wytłumaczenie, dzięki :P

Wiki

Różniczka – w rachunku różniczkowym tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą x, to zmiana jej wartości często oznaczana jest \Delta x lub, gdy zmiana powinna być mała, \delta x. Różniczka \operatorname dx reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą.

Prościej się chyba nie da.

Jak powszechnie wiadomo różniczka to wyniczek odejmowanka.

;-)

Wzór znam, pochodna pomnożona przez dx

to raczej słaba "definicja" różniczki ;)
Poprawnie mówisz ze pochodna funkcji to miara szybkości jej przyrostu, czyli dy/dx, ale definiowanie w ten sposób dx czy dy jest trochę szalone ;)
Różniczka, czyli nasze dx i dy to po prostu pewne nieskończenie małe zmiany x i y. Takie nieskończenie małe deltaX i deltaY.
Pochodna w interpretacji geometrycznej da ci styczną do funkcji z której ja liczysz w danym punkcie, bo przecież ta styczna mówi nam właśnie o ty jak szybko funkcja w danym punkcie rośnie.

Jeśli funkcja f ma w punkcie x₀ pochodną, to w pobliżu tego punktu można ją z dużą dokładnością przybliżać funkcją liniową f(x) - f(x₀) f'(x₀)(x-x₀). Różniczka to prawa strona tego wzoru.

.... napisał(a):

Pochodna jest przyrostem funkcji.

Źle interpretujesz.
Pochodna jest szybkością przyrostu (zmian) funkcji.
Pochodna określa z jaką szybkością funkcja się zmienia, czy rośnie czy maleje czy jest stała.
Różniczkę można interpretować jako przyrost funkcji.