Granica ciągu (-1)^n

0

W jaki sposób pokazać formalnie, że ciąg
a^n, a =< -1
nie ma limitu?
Dla |a| < 1 można znaleźć M od epsilona (z definicji limitu ciągu) i będzie to coś w stylu M(epsilon) = log o podstawie |a| z epsilona.
Dla a > 1 można pokazać M(K) = log o podstawie a z K.
Korzystając z formalnej definicji limitu ciągu, w jaki sposób pokazać, że dla a =< -1 taki ciąg nie ma limitu?
Można by pokazać, że nie ma M od epsilona (zbieżny) i M od 'K' (rozbieżny), w sensie, że szukając tych wartości pojawi się jakaś sprzeczność. Oczywiście można powiedzieć słownie, że albo oscyluje między 1 a -1 albo oddala się od 0 z każdym następnym wyrazem, a że znak oscyluje, to nie biegnie to którejś z nieskończoności. Jakie podejście tutaj zastosować?

1

O jaki ciąg Ci chodzi? W tytule masz a[n] = (-1)^n, w tekście się pojawia jakieś a^n i dziwny zapis =<. Czy chodziło o ≤, czyli <=? Skoro tak, to co potem robi rozpatrywanie a > 1?

W każdym razie, na podstawie ostatniego akapitu zdanie wygląda tak, że najłatwiej Ci będzie znaleźć dwa podciągi zbieżne do innych wartości, co przeczy zbieżności wyjściowego ciągu (wszystkie podciągi ciągu zbieżnego mają tę samą granicę — o właśnie, po polsku mowa o granicy, nie limicie).

2

Możesz pokazać ze nie spełnia warunku Cauchego, tzn elementy ciagu nie zbliżają się do siebie -> https://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_Cauchy’ego bo akurat w R^n z metryką euklidesową każdy ciag zbieżny musi spełniać to kryterium.

1

Ciąg a^n jest zbieżny (w **R **) dla liczb a z przedziału (-1;1]. Zakładam zatem, że chodzi o liczby a <= -1 lub a > 1. Jeżeli a = -1, to ciąg (-1)^n zawiera podciąg zbieżny do 1 (n parzyste), zawiera też podciąg zbieżny do -1 (n nieparzyste). Jak już pisał @Althorion, wynika stąd, że ciąg (-1)^n nie ma granicy. Dla pozostałych liczb a ciąg a^n jest nieograniczony => nie jest zbieżny.

1 użytkowników online, w tym zalogowanych: 0, gości: 1