Adres 192.168.0.102 to twój adres lokalny, używany w sieci domowej. Jeśli się zmienia, oznacza to, że nie masz go ustawionego "na stałe" poprzez ustawienia komputera, lecz korzystasz z serwera DHCP doinstalowanego do twojego routera. DHCP służy do automatycznej konfiguracji sieci i to właśnie z tego serwera otrzymujesz adres lokalny.
Z kolei adres 213.25.135.1 to adres "zewnętrzny" routera. Wszystkie komputery w twojej sieci lokalnej mają różne adresy lokalne, aby mogły między sobą się kontaktować, ale adres zewnętrzny jest wspólny dla całej sieci i to właśnie z niego korzystasz przy przeglądaniu internetu.
Problem z pingowaniem jest dziwny, bo u mnie pinguje poprawnie.