Z pogranicza

Wstęp do liczb zespolonych

  • 2008-10-12 23:07
  • 15 komentarzy
  • 6820 odsłon
  • Oceń ten tekst jako pierwszy


PODSTAWY




Zanim zrozumiesz, czym są liczby zespolone, należy się nieco wrócić w temacie. Otóż jak wiemy, liczby dzielą się na pewne zbiory. Weźmy na przykład zbiór liczb całkowitych (-3, -5, 0, 10, 432...) i tak dalej. Jak wiemy zbiór ten posiada nieskończenie wielką ilość elementów. Ale czy wszystkie operacje matematyczne są możliwe do wykonania na tym zbiorze? Weźmy np. dodawanie, 6+5, a to się równa oczywiście 11. Chyba każdy widzi, że dodawanie, jak i odejmowanie jest możliwe w zbiorze liczb całkowitych. Jeżeli byśmy chcieli sprawdzić mnożenie, też okazałoby się, że jest możliwe w tym zbiorze (to znaczy, wynik też należy do tego zbioru). A co z dzieleniem? Dobrym przykładem będzie operacje 1:2. Jak wiemy, wynik takiego działania nie należy do zbioru liczb całkowitych (0,5). Dlatego właśnie należy powiększyć ten zbiór. Dotychczas największym zbiorem liczb, jaki znaliście był zbiór liczb rzeczywistych. Wtedy wszystkie dodawania, mnożenia, dzielenia itd. były możliwe na tym zbiorze. Ale czy jednak rzeczywiście wszystkie?


Otóż okazuje się, że nie, bo na przykład nie znajdziemy pierwiastka kwadratowego z liczby -1 (minus jeden). Okazuje się, że znowu musimy nasz zbiór powiększyć, po to właśnie są liczby zespolone.


Najpierw kilka wyjaśnień. Każda liczna zespolona (ang. COMPLEX) składa się tak jakby z dwóch części: z części rzeczywistej (ang. Reality) oraz tzw. części urojonej (ang. Imaginary). Liczbę zespoloną, zatem można interpretować jako zwykłą parę liczb, na przykład: (5, 6). Taka oto liczba ma część rzeczywistą o wartości 5, oraz urojoną: 6. Nic trudnego. Oczywiście mogą istnieć inne liczby, o różnych częściach, nawet równych 0, np: (5,0), (0,5), (0, 1), (10, 10) itd. Tu chyba nie trzeba zbyt dużo wyjaśniać. Stąd nazwa: liczba zespolona to zespolenie części rzeczywistej i urojonej. Część rzeczywista jest zawsze po lewej, a urojona po prawej stronie. Zresztą krótka definicja liczb zespolonych mówi, że liczbę zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych.


Kiedy już nie są ci obce zupełne podstawy, należy przejść do konkretów. Zastanówmy się, kiedy zachodzi równość dwóch LZ. Otóż wtedy i tylko wtedy, kiedy mają one te same części rzeczywiste i urojone. ( (a1,b1) = (a2,b2) <==> (a1=a2) ^ (b1=b2)). W przeciwnym przypadku, liczby te są różne. I jeszcze mała rzecz: jeżeli część urojona jakiejś liczby = 0, to można ją opuścić, przyjmując, że jest to liczba rzeczywista.




DODAWANIE, ODEJMOWANIE, MNOŻENIE




Na LZ można oczywiście wykonywać najrozmaitsze działania, poznajmy najpierw te najważniejsze. Aby dodać do siebie dwie liczby zespolone, należy dodać do siebie ich części rzeczywiste i urojone (to samo z odejmowaniem). Tu chyba nie trzeba specjalnych wyjaśnień. Oto przykład:



z1 = (5, 7)

z2 = (1, 2)

z1 + z2  = (6, 9)

z1 - z2  = (4, 5)




Definicja mnożenia jest nieco bardziej skomplikowana. Otóż jest na to taki wzór:



z1 = (a1, b1)

z2 = (a2, b2)

z1*z2 = (a1*a2 - b1*b2, a1*b2 + a2*b1)



A oto przykład mnożenia dwóch liczb zespolonych:


z1 = (2, 3);

z2 = (4, 10);

z1*z2 = (-22, 32)



Dzielenie na razie zostawmy sobie na później. Zastanówmy się teraz nad tzw. ciekawymi liczbami w zbiorze liczb zespolonych. Dla liczb rzeczywistych, obojętnym elementem dla mnożenia była jedynka, bo zawsze zachodziło: a*1=a, dla każdego a. Natomiast dla dodawania, obojętnym składnikiem była liczba 0, bo a+0=a. W zbiorze liczb zespolonych, dla mnożenia obojętny składnikach to liczba (1, 0), natomiast dla dodawania: (0, 0), co łatwo sprawdzić, podstawiając.




JEDNOSTKA UROJONA "i"



Weźmy pod uwagę ciekawą liczbę, jaką jest (0, 1). Otóż liczba ta nazywana jest jednostką urojoną. Oznaczamy ją poprzez małą literę "i", lub czasem przez "j", zwłaszcza w elektronice. My jednak będziemy tutaj stosować oznaczenie "i", od słowa "imaginary". Jak widać nie posiada ona części rzeczywistej, jedynie urojoną o wartości 1. Jednostka urojona to bardzo ważne zagadnienie i od teraz będzie dość często używane.



Przede wszystkim należy zwrócić uwagę, co daje kwadrat tej liczby:



i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1, 0) = -1



Czyli jak widać, liczba "i" podniesiona do kwadratu daje nam -1. Dlatego też jednostkę urojoną możemy określić jako pierwiastek kwadratowy z liczby -1. ( i = √(-1)). Może trochę wam trudno zrozumieć, jak może istnieć pierwiastek z liczby ujemnej, ale LZ mają to do siebie, że w ich zbiorze można rozwiązać każde równanie. Można również obliczać kolejne potęgi liczby "i", a są one następujące:



i3 = i*i*i = i2*i = -1*i = -i

i4 = i*i*i*i = i2*i2 = -1*(-1) = 1

i5 = i*i*i*i*i = i4*i = i

itd...



Ale najważniejsze jest, że i2 = -1 i tak właśnie jest ona definiowana.




POSTAĆ ALGEBRAICZNA LZ



Zapis LZ w postaci pary liczb nie jest powszechnie stosowany w matematyce. Używana jest tzw. postać algebraiczna liczb zespolonych. Ułatwia ona w znacznym stopniu wykonywanie operacji na LZ. Każdą liczbę zespoloną możemy zapisać jako:



z = a + b*i



Powyższy zapis na pewno budzi pewne kontrowersje i pytania. Otóż, "a" jest to nic innego jak część rzeczywista. "b" natomiast określa wartość części urojonej. W tym wypadku "i" oznacza jednostkę urojoną, jest tak jakby wersorem, czyli jednostkowym wektorem tegoż obiektu (urojenia). "i" pomnożone przez wartość "b", da nam wartość urojenia, jest to prostu w zapisie tym jakby symbol urojenia. Czyli jak widzimy, konwersja na postać algebraiczną jest dziecinnie prosta, np.:



z1 = (4, 7) =  4 + 7i

z2 = (2,5) = 2 + 5i

z3 = (3, -5) = 3 - 5i


Ten zapis upraszcza nam w znacznym stopniu matematykę, gdyż "i" we wzorze działa jak jakiś współczynnik, co powoduje, że nie można pomylić części rzeczywistej od urojenia. Powoduje to oddzielenie tych obiektów, a tym samym ułatwia nam operacje. Teraz już wiadomo, skąd wzór na mnożenie dwóch LZ, ponieważ po przemnożeniu części urojonych "i", otrzymamy -1, gdyż jak powiedzieliśmy, i*i = -1.


Dodawanie i odejmowanie w postaci algebraicznej też już nie sprawia nam większego kłopotu, traktując "i" jako "jakiś" współczynnik. Postać algebraiczna jest najczęściej stosowana, jest to podstawowa postać. Wszystkie wzory skróconego mnożenia przenoszą się na liczby zespolone. To znaczy, że już możemy obliczyć np. takie wyrażenie:



z3 = (2 - 3i)3 = 8 - 3*4*3i + 3*2*(3i)2 - (3i)3 = -46 - 9i




INTERPRETACJA GRAFICZNA LZ, MODUŁ, LICZBY SPRZĘŻONE



Okazuje się, że każdą liczbę zespoloną możemy pokazać graficznie. Liczby rzeczywiste pokazywaliśmy na osi, gdzie tylko była wartość i znak. LZ natomiast przedstawiamy na tzw. płaszczyźnie Gaussa. Jest to nic innego jak zwykły układ współrzędnych, ale zamiast standardowego "x" oraz "y" wstawiamy odpowiednio: "Re" (część rzeczywista), oraz "Im" (część urojona). Dowolną LZ przedstawiamy jak punkt o współrzędnych (Re, Im). Dlatego też nieraz postać algebraiczną LZ nazywana jest "rektangularną", od ang. słowa "rectangle" - prostokąt.
Różne operacje można już wykonywać za pomocą rysunku. Np. dodawanie, traktując LZ jako wektor. Wtedy dodajemy do siebie właśnie wektory.


Liczby sprzężone to takie, które mają tę samą część rzeczywistą, a urojoną przeciwnego znaku (z1 = a + bi, z2 = a - bi). Sprzężenie daje różne ciekawe własności. Np. iloczyn dwóch liczb sprzężonych to sprzężenie tego iloczynu. To samo z dodawaniem.


Moduł liczby zespolonej jest to nic innego jak odległość punktu na płaszczyźnie Gaussa oznaczającego tę liczbę od początku układu. Od razu z twierdzenia Pitagorasa widać, że jest to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej. Moduł z liczby "z", oznaczamy jako |z|. Przykład: Niech liczba z będzie równa: z = a + bi. Moduł z tej liczby zespolonej liczymy:


|z| = √(a2 + b2)


Tu chyba nie powinno być wątpliwości, że moduł jest zawsze dodatni.


Dla liczb rzeczywistych, część urojona jest równa 0, i jak widać moduł to nic innego jak wartość bezwzględna danej liczby. Moduł jest to uogólnienie wartości bezwzględnej z uwagi na liczby zespolone.


Przykłady modułów:


Z1= 3 + 4i.

|z1| = 5



z2 = i

|z2| = 1



z3 = -2

|z3| = 2


Moduł dwóch licz sprzężonych jest oczywiście ten sam. Warto jeszcze wspomnieć, że moduł sumy dwóch LZ jest zawsze mniejszą bądź równy sumie modułów tych liczb.




DZIELENIE LZ



Teraz, gdy już nie wroga ci wiedza o liczbach zespolonych (podstawowa) możemy przejść do operacji dzielenia. Dzielenie jest wykonalne, gdy wynikiem jest liczbą należą do zbioru liczb zespolonych. A robimy to następująco:



z1 = a1 + b1i

z2 = a2 + b2i



z1 / z2 = (a2*b1 - a1*b2) / (a22 + b22)



Oczywiście mianownik musi być różny od zera. A oto przykład dzielenia dwóch LZ:




z1 = 1 + 2i

z2 = 3 - 4i




z1 / z2 = (-5 + 10i) / (9 + 16) = (-5 + 10i) / 25 = -0.2 + 0.4i




POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LZ



Liczbę zespoloną możemy przedstawić nie tylko za pomocą pary liczb lub też podobnej: postaci algebraicznej. Istnieje też tzw. postać trygonometryczna, inaczej zwana polarną. W postaci zwykłej, podajemy współrzędne wektora Re i Im liczby zespolonej. Jednak taki punkt na układzie współrzędnych możemy przedstawić inaczej, podając tylko wartość modułu oraz kąt między nim, a osią Re. I na tym właśnie polega ta postać LZ. Jest ona pomocna w bardzo wielu obliczeniach na tym zbiorze. Zanim jednak przejdziemy ściślej do tej postaci wyjaśnimy parę rzeczy.



Jak już wiemy moduł LZ jest to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej. Tutaj poznamy jeszcze nowe pojęcie: argument liczby zespolonej. Jest to nic innego jak kąt zawarty między osią Re, a modułem LZ. Np. liczba zespolona z = 2 + 2i ma argument równy 45o, czyli przeliczając na miarę łukową jest to π/4, a np. liczba i, ma argument 90o.



Warto się zastanowić, że kąt np. 365o jest to taki sam kąt jak 5o - niczym się praktycznie tu nie różni. I tu od razu druga definicja: argument główny liczby zespolonej. Jest to taki argument, który jest zawarty między 0o a 360o, czyli jeden pełen obrót. Mówimy cały czas o stopniach, jednak w praktyce powinno się operować miarą łukową. Zatem dowolna liczba zespolona może mieć nieskończoną ilość argumentów, ale zawsze ma jeden główny. Dlatego głównie on jest brany pod uwagę: nie inne.



Najogólniej mówiąc postać trygonometryczna LZ wygląda tak:



z = |z| * (cos(γ) + isin(γ))


To teraz małe wyjaśnienie: |z| to nic innego jak moduł LZ. γ to właśnie argument główny tejże liczby. Zaraz poznasz jak się go liczy, ponieważ jest to bardzo istotne. Zatem tak wygląda liczba zespolona. Teraz należy spojrzeć, jak dojść do tego zapisu. Weźmy np. liczbę zespoloną z = 1 + i. Jak łatwo policzyć, moduł z tej liczby równy jest pierwiastkowi z dwóch. Argument główny to oczywiście kąt 45o. Jeżeli chcemy teraz taką liczbę przeliczyć na postać trygonometryczną, najpierw musimy wyłączyć przed nawias jej moduł. Czyniąc to musimy tez jednocześnie podzielić oba składniki przez moduł (aby była niezmieniona wartość). Teraz jak widać, w nawiasie pierwszy składnik jest cosinusem argumentu, a drugi sinusem (ponieważ wynika to z własności trygonometrycznych). Zatem trzeba znaleźć taki kąt, którego cosinus to 1/√(2) i sinus to 1/√(2), ponieważ takie właśnie wartości zostały. A jest to oczywiście kąt 45o.



Dla prostych liczb można oczywiście od razu pisać postać trygonometryczną bez przekształcania. Bo np. liczba z = -1 - i ma argument równy 270o, a moduł wiadomo, jaki. Gorzej natomiast ma się sprawa z bardziej skomplikowanymi przykładami.



Weźmy liczbę z = -1 + √(3). Będzie to doskonały przykład na przeliczanie z jednej postaci na drugą. Oczywiście liczymy najpierw moduł.



|z| = √((-1)2 + √(3)2) = √(1+3) = √(4) = 2.



Teraz należy wyłączyć moduł przed nawias:


Z = -1 - i = 2 * ( -1/2 - √(3)/2)


Z zależności podstawiamy i otrzymujemy:


Cos(γ) = -1/2

Sin(γ) = √(3)/2


Z trygonometri można obliczyć, że argument tej liczby zespolonej γ = 2/3*π i jest on jej argumentem głównym, ponieważ mieści się w zakresie od 0 do 2*π.


Gdy już mamy wszystkie dane, można zapisać obie postacie:


Z = -1 - i = 2 * (cos(2/3*π) + isin(2/3*π))


Tak oto przelicza się z postaci algebraicznej na trygonometryczną.


Drugi przykład niech będzie łatwiejszy: z = -2i.


Moduł od razu liczymy bez żadnego zapisywania, |z| = 2. Natomiast gdy narysujemy tę LZ na płaszczyźnie możemy od razu odczytać kąt, nie trzeba nic przekształcać. A jest to γ = 3/2*π. Zresztą można też przekształcić, i również się zgodzi. Jest to argument główny tej LZ, zatem można zapisać:


Z = -2i = 2 * (cos(3/2*π) + isin (3/2*π))


Zatem jak widać przeliczanie jest bardzo proste i nie powinno sprawić nikomu większego problemu.


Na odwrót też bardzo prosto można obliczyć. Za funkcje trygonometryczne wtedy od razu podstawiamy wartości, mnożymy przez moduł i już mamy gotową postać algebraiczną.




MNOŻENIE I DZIELENIE W POSTACI TRYGONOMETRYCZNEJ



Ponieważ operacje te w postaci algebraicznej są dość skomplikowane, wykonuje się je najczęściej w postaci trygonometrycznej. Oto gotowe wzory:



z1 = |z1| * (cos(γ1) + isin(γ1))

z2 = |z2| * (cos(γ2) + isin(γ2))



z1 * z1 = |z1| * |z2| * (cos(γ12) + isin(γ12))

z1 / z1 = |z1| / |z2| * (cos(γ12) + isin(γ12))


Można oczywiście to rozpisać i rzeczywiście łatwo udowodnić, że tak jest, dzięki trygonometrii. Jak widać łatwiej jest mnożyć (dzielić) moduły i dodawać (odejmować) argumenty niż wykonywać skomplikowane operacje w postaci algebraicznej.




POTĘGOWANIE I PIERWIASTKOWANIE




Również operacja potęgowania liczby zespolonej, w postaci trygonometrycznej staje się bajecznie prosta. Wystarczy spojrzeć na wzór mnożenia. Potęgowanie to przecież mnożenie tych samych liczb n razy. Zatem należy użyć powyższego wzoru, wszystkie moduły są takie same, również argumenty (bo ta sama liczba) i otrzymujemy wzór na potęgowanie LZ (tzw. wzór Moivre`a):




z = |z| * (cos(γ) + isin(γ))


zn = |z|n * (cos(n*γ) + isin(n*γ))



Jak widać ze wzoru, można również go przekształcić na mnożenie dowolnej ilości różnych LZ, wtedy tylko mnożymy moduły i dodajemy argumenty.



Każda liczba zespolona z = |z| * (cos(γ) + isin(γ)) ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Znaczy to, że jeżeli szukamy np. pierwiastków 6-tego stopnia z danej liczby, to na pewno jest ich dokładnie 6. A oto wzór na wyszukiwanie tych pierwiastków:




zkn = n√(|z|) * (cos((γ+2*k*π)/n) + isin((γ+2*k*π)/n))



gdzie k = 0, 1, 2, ... n-1


A oto prosty przykład na pokazanie działania tego wzoru. Weźmy liczbę z = 1 + 0i, czyli po prostu 1 i powiedzmy, że szukamy pierwiastków czwartego stopnia:




z = 1

n= 4



z0 = cos(0/4) + isin(0/4) = cos(0) + isin(0) = 1

z1 = cos(2*π/4) + isin(2*π/4) = cos(π/2) + isin(π/2) = i

z2 = cos(4*π/4) + isin(4*π/4) = cos(π) + isin(π) = -1

z3 = cos(6*π/4) + isin(6*π/4) = cos(3*π/2) + isin(3*π/2) = -i



Pierwiastki liczb zespolonych można przedstawić na płaszczyźnie Gaussa, a powinny one tworzyć okrąg, im więcej ich będzie.




RÓWNANIE KWADRATOWE




Chyba każdy wie jak wygląda zwykłe równanie kwadratowe: y=ax2+bx+c. Aby znaleźć rozwiązania tego równania wyznaczało się tzw. współczynnik delta (tutaj będę oznaczał jako "dl"). Jeżeli współczynnik ten był mniejszy od zera, równanie kwadratowe nie miało rozwiązania. Jednak jak już było wspomniane, w zbiorze liczb zespolonych każde równanie ma jakieś rozwiązanie. I tak też jest i tu. Od razu pokaże jak się rozwiązuje takie równania w zbiorze LZ na gotowym przykładzie:



x2 - 2x + 5 = 0

dl = (-2)2 - 4*1*5 = 4 - 20 = -16



Jak widzimy delta jest mniejsza od 0, zatem nie istnieje pierwiastek z tej liczby jaki jest nam potrzebny do rozwiązania. Jednak jak wiemy, istnieją pierwiastki z liczb ujemnych w zbiorze LZ, zatem:



x1 = (2 - √(16)*i)/2 = (2 - 4*i)/2 = 1 - 2i

x2 = (2 + √(16)*i)/2 = (2 + 4*i)/2 = 1 + 2i



Zatem nic trudnego, po prostu przy pierwiastku z delty dokładamy jednostkę urojoną i już mamy rozwiązanie. Warto zauważyć, że rozwiązaniem w dziedzinie LZ są zawsze liczby sprzężone.




POSTAĆ WYKŁADNICZA LZ




Jak na razie znasz dwie postacie zapisu liczb zespolonych: algebraiczną oraz trygonometryczną. Istnieje jeszcze jedna postać: wykładnicza, inaczej zwana Eulera albo eksponenta. Wykorzystuje ona tzw. liczbę Eulera, oznaczaną jako "e". ("e" w przybliżeniu = 2, 71). Jest ona bardzo ważna nie tylko przy liczbach zespolonych, ale również w innych działach matematyki. Przede wszystkim należy wiedzieć, że istotny i prawdziwy jest wzór:



ei*γ = cos(γ) + isin(γ)


Już z tego wynika, że liczbę zespoloną np. w postaci: z = cos(2/3*π) + isin(2/3*π) da się zapisać jako ei*2/3*π. Od razu powiem, że zapis ex to inaczej eksponent x, zapisywany jako exp(x), i tego zapisu będziemy się trzymać.



Takie przedstawienie LZ daje również dużo możliwości, gdyż znowuż ułatwia nam różne operacja jak np. mnożenie:



z1 = |z1| * (cos(γ1) + isin(γ1))

z2 = |z2| * (cos(γ2) + isin(γ2))


z1 * z1 = |z1| * |z2| * (cos(γ12) + isin(γ12)) = |z1| * |z2| * exp(i*(γ12))


Podobnie oczywiście postępujemy z dzieleniem, ale zamiast plusa jest minus. Również inne wzory z wykładnikami przenoszą się na LZ.




PODSUMOWANIE



Liczby zespolone to wielki dział matematyki, jak widać nie jest zbyt skomplikowany po głębszej analizie. Znajduje on najróżniejsze zastosowanie, przede wszystkim w elektronice, np. do rozwiązywania obwodów prądu zmiennego, gdzie mamy do czynienia z reaktancją (cewki, kondensatory...). Również w informatyce liczby zespolone są nieodzowne.



15 komentarzy

czaffik 2016-11-08 18:27

Wzór na dzielenie jest źle podany, można go sobie wyprowadzić z wzoru Moivre'a, jeśli dzielimy z1 na z2, to wystarczy z2 podnieść do potęgi -1 i stąd widzimy że z2 podniesione do -1 daje sprzężenie z2 podzielone przez kwadrat modułu z2.
Bym wzór napisał ale tex coś nie działa mi tutaj.

No i jeszcze pytanie, a jak podnieść liczbę zespoloną do potęgi liczby zespolonej?

Brak avatara
rozczarowana 2014-01-18 15:16

prawidłowy wzór na dzielenie w postaci algebraicznej:
z1 / z2 = ((a1*a2+ b1*b2)+(a2*b1 - a1*b2)i) / (a22 + b22)

Brak avatara
rozczarowana 2014-01-18 14:59

To znaczy wzór na dzielenie jest niepełny, chociaż przykład został dobrze rozwiązany - nieanalogicznie do podanego /błędnego/ wzoru, co jest tym bardziej mylące dla osoby początkującej.

Brak avatara
rozczarowana 2014-01-18 14:52

Byłam zachwycona, póki nie zaczęłam czytać o dzieleniu w postaci algebraicznej!
pomijając już fakt, że nie zostało wyjaśnione, to przecież wzór i przykład jest nieprawidłowy;
jestem zaskoczona, nikt inny tego nie zauważył?
a było tak dobrze; jako osoba początkująca z LZ, musiałam porównać to z trzema innymi źródłami, aby dowiedzieć się, że DZIELENIE JEST TU BŁĘDNIE PODANE; mam nadzieję na poprawkę.

crayze 2009-01-28 22:40

w przykładzie zmiany postaci algebraicznej na trygonometryczną brakuje jednostki urojonej (na początku przykładu)

BatSk8 2007-02-24 18:53

Super artykuł. Chwała artorowi za jego napisanie!

Teraz już wiem, że liczby nie mają granic :D

Paweł Okrzesik 2006-07-23 18:36

Jedna mała uwaga. Stwierdzenie że i=sqrt(-1) nie jest do końca poprawne, ponieważ pierwiastkiem z -1 jest także -i

omikron87 2005-01-02 22:19

Artykół super! Od razu zrozumiałem co to liczby zespolone! :)

wro: po co są LZ? do rysowania FRAKTALI!!! :D

Adam.Pilorz 2004-06-18 15:38

To ja napiszę tak: Jest to najładniej i najdokładniej napisany artykuł jaki widziałem na 4p :) Kendlas pisał: "Artykuł trochę lamerski", nie widziałem poprzedniej wersji, ale ta jest genialna i nic z lamerstwa w nim nie ma. Genialnie napisany, ładnie wszystko pokolei wyjaśnione, po prostu cudo. I do tego ładnie graficznie zorganizowane, duże widoczne nagłówki. Super czytelne, super dokładne i super... w ogóle.

wro 2004-05-04 20:57

przydałby się bardziej szczegółowy opis do czego mogą się przydać LZ

Unabomber 2003-06-15 13:12

no teraz musze zmienic moj ostatni wpis :-) ... poprawiona wersja jest w nieba lepsza cos mozna z niej o lz polapac :-)
ps. jeszcze dodaj sin(), cos() itd dla agrumentow zespolonych

Faszczu 2003-05-06 19:47

Zgadzam sie z Szymkiem.
Ja chcialem sie z tym blizej zapoznac ale ten art. jest bardzo skrotowy, przydala by sie wersja rozszerzona.

Unabomber 2003-03-25 20:42

...nevermind :-)

kendas 2003-02-25 18:17

Artykul trocję lamerski !

Szymek 2002-12-30 17:42

Mogles sie postarac o opis wykonywania dzialan (ja znam ale czy inni?).