Z pogranicza

Absolutne podstawy trygonometrii

  • 2010-08-14 20:28
  • 15 komentarzy
  • 14730 odsłon
  • Oceń ten tekst jako pierwszy
Trygonometrię można wykorzystywać do niezliczonej ilości rzeczy, jednym słowem Sin i Cos oraz cala reszta funkcji trygonometrycznych to niewyobrażalnie ważne funkcje. Możesz je użyć do:

1. Wyznaczania długości boków w trójkącie. Mając dany jeden kat w trójkącie i jeden bok możesz wyznaczyć WSZYSTKIE inne katy i boki. Jak to zrobić?
Zacznijmy od trójkąta prostokątnego. Pozwolę sobie na psedorysunek pomocniczy.
                 C
                /|
              /  |
            /    |
          /      |
        /        |
      /          |
    /            |
  /              |
/________*|
A               B

Niech kat BAC będzie katem alfa o kącie 60*, a długość odcinka BC wynosi 10.

OK. Rysunek już mamy. Teraz może teoria sinusa dla kąta w trójkącie prostokątnym. OK?

Sinus kata alfa w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do kata alfa do przeciwprostokątnej.

W naszym przykładzie sin alfa = |BC|/|AC|.
Jak już powiedzieliśmy rozwartość kąta alfa wynosi 60*, a sin dla tego właśnie kata wynosi sqrt(3)/2  (sqrt czyt. pierwiastek z 3). Tak więc, aby wyznaczyć długość przeciwprostokątnej wystarczy przekształcić równanie:

sin alfa = |BC|/|AC|      / *|AC|    (obustronne mnożenie przez |AC|)
sin alfa*|AC| = |BC|     / :sin alfa
|AC| = |BC|/sin alfa

podstawmy teraz dane nam wartości:

|AC| = 10*sqrt(3)/2
|AC| = 5*sqrt(3)

Długość przeciwprostokątnej wynosi 5 pierwiastków z 3.

Skąd wiedziałem, że sin 60* wynosi sqrt(3)/2? Otóż jest taka sympatyczna tabelka

           30*           45*           60*
sin       1/2        sqrt(2)/2    sqrt(3)/2
cos   sqrt(3)/2   sqrt(2)/2       1/2
tg     sqrt(3)/3        1            sqrt(3)
ctg     sqrt(3)          1          sqrt(3)/3

Podam jeszcze przykład dla cosinusa. Korzystając jeszcze z danych z poprzedniego trójkącika policzmy druga przyprostokątna |AB|. Pierw tez zarzucę teoria.

Cosinus kata alfa w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kata alfa do przeciwprostokątnej.
W naszym przykładzie coś alfa = |AB|/|AC|.
Tak wiec mamy dane juz:
|BC| = 10
|AC| = 5*sqrt(3)
cos alfa = 1/2
przekształćmy nasze równanie

cos alfa = |AB|/|AC|       /* |AC|
|AB| = cos alfa*|AC|
Podstawiamy co nam jest dane:
|AB| = 1/2*5*sqrt(3)
              5*sqrt(3)
|AB| = ----------------
                   2

Mając dane dwie długości boków moglibyśmy wyznaczyć trzeci z twierdzenia Pitagorasa, ale zwróć uwagę, ze nie korzystaliśmy (w tym przykładzie z cosinusem) z długości |BC|. Tak wiec nawet, gdyby ta długość nie była nam dana to i tak moglibyśmy policzyć długość odcinka |AB|.
Jak zapewne zauważyłeś przy przekształcaniu równań przekształcaliśmy je tak, aby wyznaczyć nasza wielkość szukana.

Sa jeszcze funkcje tg (czyt. tangens) i ctg (czyt. cotangens). Dla nich juz nie bede dawal przykladow,Sadze, ze sam zrozumiesz jak dzialaja z poprzednich przykladow. Podam natomiat teorie:).

Tangensem kata alfa nazywamy stosunek przyprostokatnj przeciwleglej do kata alfa do drugiej przyprostokatnej.

Cotangensem kata alfa nazywamy sotsunek przyprostokatnej przyleglejdo kata alfa do drugiej przyprostokatnej.

Dla naszego trojkata "narysowanego" wyzej bedzie to wygladalo tak:
tg alfa = |BC|/|AB|
ctg alfa = |AB|/|BC|

Jak zauważyłeś w naszej tabelce (tej wyżej:) ) są podane tylko katy 30*, 45* i 60*. A co jeśli kąt będzie inny niż te wartości? Otóż wtedy musisz się posłużyć tablica funkcji trygonometrycznych, gdzie masz podane wartości sin, cos, tg i ctg dla wszystkich kątów.

Może podam jeszcze przydatne wzory przekształceń dla tych funkcji:

sin2(alfa) + cos2(alfa) = 1
tg(alfa) = sin(alfa)/cos(alfa)
ctg(alfa) = cos(alfa)/sin(alfa)
tg(alfa) = 1/ctg(alfa)
sin(alfa) = cos(90 - alfa)
cos(alfa) = sin(90 - alfa)

2. Funkcje trygonometryczne używamy także do wyznaczania boków/kątów w dowolnych trójkątach:
Narysujmy pseudotrojkat:
 
                                             *
                                           * *
                                         *    *
                                       *       *        
                                     *          *
                                   *             *
                                 *                *
                               *                   *  b
                           c *                      *
                           *                         * 
                         *                            *
                       *                               * 
                     *                                  *
                   *                                     *
                 *************************
                                       a         
          
Niech na przeciwko boku a będzie kąt alfa, na przeciwko boku b kąt beta i na przeciwko boku c kąt gama.
Twierdzenie sinusów:

a/sin(alfa) = b/sin(beta) = c/sin(gama) = 2R

R - Promień okręgu opisanego na tym trójkącie

Twierdzenie cosinusow:
a2 = b2 + c^2 - 2bc*cos(alfa)
b2 = a2 + c^2 - 2bc*cos(beta)
c2 = a2 + b^2 - 2ab*cos(gama)

3. Do obliczania pola rożnych figur
Mamy dane w trójkącie długości 2 boków a i b oraz kat alfa zawarty miedzy nimi. Pole powierzchni wynosi:
Pp = ab*sin(alfa)

Mamy dany bok rabu oraz kat alfa zawarty miedzy tymi bokami. Pole powierzchni wynosi:
Pp = a^2*sin(alfa)

Mamy dane w w równoległoboku długości 2 boków a i b oraz kat alfa zawarty miedzy nimi. Pole powierzchni wynosi:
Pp = ab*sin(alfa)

itd.

4. Jeszcze mnóstwo innych zastosowań funkcji trygonometrycznych jest. Np. do przedstawiania przestrzeni na ekranie monitora używa się bardzo dużo funkcji trygonometrycznych i do wielu jeszcze innych rzeczy o których mi jeszcze nie jest wiadomo:)


Poszukaj sobie jeszcze o wykresach funkcji trygonometrycznych. Tylko, ze argumentami w tych wykresach sa katy podane w radianach,  a radian to nic innego jak miara kąta lukowego.

kat w radianach = (alfa/180)*Pi

BTW. Mam nadzieje, ze zrozumiałeś funkcje trygonometryczne i ze nie zrobiłem żadnego błędu:)

15 komentarzy

barszcz 2008-04-28 23:44

...No to ja zareklamuję swój wykład o trygonometrii.
http://frydlewicz.topworld.org/index.php?id=Wyklady

Pozdro!

Future Knight 2007-11-28 13:35

Comment for "anyuser" po 1: wybieraj lepsze ksywki, po 2: dzięki tej stronie mam zakaz wstępu do sali informatycznej, 6 na koniec roku z infy i majzy, po 3: J-A M-A-M C-W-E-L-U 13 L-A-T!, po 4: z czystym sumieniem założę się że jakby tobie pokazać coś z programowania obiektowego (nie mówiąc już o ortografii :D:D) to byśmy usłyszeli tylko takie ciche "eeeee"...

Spine 2006-06-22 09:13

Jakby się przyłożyć do tego w szkole to dałoby radę znać podstawy ;)
Tyle, że ja mam 2 na koniec drugiej klasy z matmy (w Liceum) :D
Muszę się ostro wziąć do roboty...
Tak BTW. to są jeszcze mało używane i poza programem nauczania funkcje: secans i cosecans

AklimX 2004-11-02 17:22

nasunęła mi się pewna konkluzja po przeczytaniu wypowiedzi Sakusa: " Vódka i nie ma problemu " :d

enigmatyczna 2004-08-28 19:45

Thnx za arta... Dzisiaj kuć nie będę ;), ale zachowuję to w moim archiwum...

sakus 2003-09-15 21:14

khem, khem.... chciałem zauważyć, że właśnie rozpocząłem trzecią klasę gimnazjum, i jeszcze nawet zwykłych funkcji nie zacząłęm (ah, ten poziom...)

Jak widać grono zianteresowanych artykułem się troszkę powiększa.
PS. Naprawdę będąc w 3 klasie gim mam ograniczony dostęp do "wyższej matematyki" (<--cudzysłów jest celowo) i gdyby nie to że istnieją takie artykuły musiałbym chyba pożyczać książki z biblioteki:)

Dlatego dziękuje Ci Vodko, za ten artykuł! (chociaż i tak się nie przydał, f. tryg. już umiałem:P)

vodka_32 2003-07-28 21:12

[quote]Super. Tego mi było potrzeba. Vodka a skąd to wiesz ? Bo z tego co się orientuje idziesz do 3 klasy gimnazjum, tak jak ja. Ale ja tego w szkole nie miałem, miałem tylko twierdzenie pitagorasa."[/quote]

EEEeee... w szkole to jest totalna kicha! Tam poziom nauczania jest oplakany:( Jak to napisal jarekj: "Ta reforma....... niedługo tabliczki mnożenia będą się uczyć w gimnazjum". Tak wiec, zeby sie nie uczyc ciagle tabliczki mnozenia to przerabiam material z liceum:P  

[quote]napisalem ,,guwna" po sie nie chcalo pisac ó zamknietego[/quote]

Tylko jeden komentarz tu pasuje: ;)

[quote]
rusko vudko z bazaru[/quote]

W ten sposob mi dokuczano jak chodzilem do przedszkola

BTW. tomaszos: jedna prosba: odklej sie od mojego artykulu

tomaszos 2003-07-29 10:22

hymnn,, sprubuje ty rusko vudko z bazaru za 12 gr. ;-)

Gerard 2003-07-28 17:16

Super. Tego mi było potrzeba. Vodka a skąd to wiesz ? Bo z tego co się orientuje idziesz do 3 klasy gimnazjum, tak jak ja. Ale ja tego w szkole nie miałem, miałem tylko twierdzenie pitagorasa.

KiteK 2003-07-28 11:57

Pochwalony! Dzieki! Tego właśnie potrzebowałem do szczęścia! Należę właśnie do tej grupy, co nie mieli jeszcze w szkole SIN'ów i COS'inów, rodzice tego nie pamiętają, a na necie nic znaleźć nie mogli :). Przyda się ten art bardzo, dzięki :)

vodka_32 2003-07-28 11:36

OK widze, ze dosc szybko sie nazbieraly opinie na temat tego artykulu. Wiec OK, zaczne wyjasniac po co to napisalem:). Powod jest tylko jeden! Juz 3. raz w ciagu 2 miesiecy na forum pojawil sie temat typu: "Co to jest sinus i cosinus?" linki:
[url]http://forum.4programmers.net/viewtopic.html?id=42409[/url]
[url]http://forum.4programmers.net/viewtopic.html?id=39442[/url]
i jeszcze jeden gdzies byl, ale nei ejstem teraz w stanie go znalezc.
Jako, ze tak czesto padaja pytania tego typu na forum postanowilem skorzystac z prpozycji Faszczu(nie wiem czy to sie odmienia:) )
[url]http://forum.4programmers.net/viewpost.html?id=73081&h=[/url]

[quote]super....tyle ze moim zdanie takie rzeczy zostaw nauczycielom w szkolach...[/quote]
Lofix: Jak widzisz z powyzszych linkow uzytkownicy 4p domagaja sie tego na forum:)
[quote]po co uczyc ich podstaw..jak ktos nie umie podstaw to znaczy ze powinien cofnac sie w rozwoju...[/quote]
Lofix: Chyba nie wzieles pod uwage faktu, ze na tym forum sa tez osoby, ktore chodza do 1. gim a takze do 6. podstawowki! I oni przez ten art sie nie cofna aie w rozwoju a pojda do przodu z programem(nauczania)! To WLASNIE oni byil autorami tych tematow typu: "co to sin i cos?"

[quote]Człowieku ty nie dbasz o wydawców polskich podręczników od matematyki (i czasami fizyki). Lepiej zachęć ludzi do kupowania podręczników. [/quote]
ehhh... jarekj uwazam ze takie artykuly sa potrzebne dla 1.gimnazjalistow/6.klasistow, ktorzy sa zainteresowani matematyka! Jak bylem w 6. klasie to wzalem ksiazke mojej siostry z matmy i sie nauczylem podstaw trygonometrii. Ale gdybym nie mial siostry? Skad bym sie mogl dowiedziec co to sin, cos? Pewnie bym byl skazany na nauke w szkole! A tak swoja droga to kilka godz spedzilem na szukaniu artykulu tego typu tyle, ze na temat: "Sinus hiperboliczny i cosinus hiperboliczny" I NIE ZNALAZLEM:( Znalazlem tylko wzory i definicje encyklopedyczna:( Ludziom uczacym sie dopiero potrzebne sa przyklady!!! A w encyklopedii ich nie ma;P
[quote]Ta reforma....... niedługo tabliczki mnożenia będą się uczyć w gimnazjum :-]
[/quote] Tez nad ty maaaa...rdzo ubolewam;(

[quote]O PROGRMMOWANIU CZY O TRYGONOMETRII SZKOLNEJ POTSTOWOWEJ?[/quote]
Trygonometria to co? To matematyka! A matematyka to co? Matematyka to informatyka, programowanie! Bez f. tryg. nie zrobisz zadnej sensownej grafiki(tu mam na mysli programownaie grafiki; fraktale itp.) A poza tym ten artykul znajduje sie w dziale "Z pogranicza"!!!!!
[quote]NAWET TEGO GUWNA NIE CZYTAM![/quote]
Tiaaa... po posobie twoich(w tym przypadku z malej litery) wypowiedzi wnioskuje, ze bys sie mogl sporo nauczyc z tego artykulu! Zapytaj siebie czy wiesz co to twierdzenie sinusow? twierdzenie cosinusow? Nie odpowiadaj na te pyt na forum bo i tak nigdy bys sie pewnie nie przyznal do niewiedzy(chociaz to zaden wstyd). Zapytaj po prostu siebie! Czy znasz te pomocne wzory? Czy umiesz policzyc Pole rownolegloboku z wykorzystaniem tryg?
[quote]GUWNA[/quote]
Jesli twoja wiedzam matematyczna stoi tak "wysoko" jak humanistyczna, to sadze, ze powinienes zaczac czytac ten artykul od poczatku!

Mysle, ze nie ma juz zadnych pyt. "Po co ten artykul?":)
Jesli tomaszos na zamiar odpisac tu jakies bluzgi to niech sobie da na wstrzymanie. Niech pomysli o lofix&abuse i o tym, ze kazdy kto bedzie czytal tego arta natknie sie na znak jego[tomaszos'a] nieskiego poziomu kultury

anyuser 2003-08-06 10:45

wow, i to ma być serwis dla programistów? cha cha cha jak tu same bajtle piszą o jakiś sin i cos, no hmm... cóż może ten serwis jest właśnie adresowany do młodszych pokoleń z czasów gwałtu (czytaj reformy), cóż zatem bawcie się dobrze i pilnie odrabiajcie prace domowe

Deti 2003-08-13 13:56

Dobry art vodka_32, a ty "anyuser" nie bądź taki mądry bo zawsze może się znajść ktoś mądrzejszy od ciebie - a wtedy on Cie wyśmieje... A czy 14-to latki nie pają prawa programować ?

PS: Warto by dodać jeszcze o funkcjach cyklometrycznych :):), czyli słynnych "arcusach", np:

AcrSin(1/2) = 30 stopni (Pi/6 licząc w radianach).

Chyba nie musze tłumaczyć skąd się to wzięło :)

lofix 2003-07-27 22:52

super....tyle ze moim zdanie takie rzeczy zostaw nauczycielom w szkolach...
po co uczyc ich podstaw..jak ktos nie umie podstaw to znaczy ze powinien cofnac sie w rozwoju...

(khm dlaczego ja tego nie rozumiem ;-) ??)

jarekj 2003-07-28 00:55

o cholercia nie wiedziałem........ aaaaaa chyba z tego dostałem pałę !!!!!!!! Człowieku ty nie dbasz o wydawców polskich podręczników od matematyki (i czasami fizyki). Lepiej zachęć ludzi do kupowania podręczników.
Ta reforma....... niedługo tabliczki mnożenia będą się uczyć w gimnazjum :-]